📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)이 모두 수렴하고, \(\sum b_n\)의 합과 \(\sum (2a_n + 3b_n)\)의 합이 주어졌을 때, \(\sum a_n\)의 합을 구하는 문제입니다. 수렴하는 급수의 성질(선형성)을 이용하는 것이 핵심입니다.
- 수렴하는 급수의 성질 상기: 두 급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)이 각각 \(\alpha\), \(\beta\)로 수렴하면, 임의의 상수 \(p, q\)에 대해 급수 \(\sum (pa_n + qb_n)\)도 수렴하고 그 합은 \(p\alpha + q\beta\)와 같다는 성질을 이용합니다.
- 미지수 설정: 구하고자 하는 급수의 합 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)을 미지수 \(\alpha\)로 설정합니다.
- 급수의 성질 적용: 주어진 식 \(\sum_{n=1}^{\infty} (2a_n + 3b_n) = 12\)에 급수의 선형성을 적용하여 식을 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)의 합으로 분리합니다.
- 방정식 풀이: 분리된 식에 주어진 \(\sum b_n = 2\)와 설정한 \(\sum a_n = \alpha\)를 대입하여 \(\alpha\)에 대한 방정식을 세우고, 이 방정식을 풀어 \(\alpha\) 값을 구합니다.
급수의 성질 (선형성):
두 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \alpha\), \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = \beta\) 가 각각 수렴하면,
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (p a_n \pm q b_n) = p \sum_{n=1}^{\infty} a_n \pm q \sum_{n=1}^{\infty} b_n = p\alpha \pm q\beta $$
(단, \(p, q\)는 상수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 조건 확인 및 미지수 설정
문제에서 다음 조건들이 주어졌습니다.
- 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) 이 수렴한다.
- \(\sum_{n=1}^{\infty} b_n = 2\)
- \(\sum_{n=1}^{\infty} (2a_n + 3b_n) = 12\)
우리가 구하고자 하는 값은 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 합입니다. 이 값을 \(\alpha\)라고 설정합시다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \alpha $$
Step 2: 급수의 성질 적용
세 번째 조건식 \(\sum_{n=1}^{\infty} (2a_n + 3b_n) = 12\)에 급수의 선형성을 적용합니다.
급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)이 모두 수렴하므로, 다음과 같이 분리할 수 있습니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} (2a_n + 3b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} (2a_n) + \sum_{n=1}^{\infty} (3b_n) $$
상수배를 앞으로 꺼냅니다.
$$ = 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + 3 \sum_{n=1}^{\infty} b_n $$
이 값이 12이므로,
$$ 2 \sum_{n=1}^{\infty} a_n + 3 \sum_{n=1}^{\infty} b_n = 12 $$
Step 3: 방정식 설정 및 풀이
Step 2에서 얻은 식에 Step 1에서 설정한 \(\sum a_n = \alpha\)와 주어진 조건 \(\sum b_n = 2\)를 대입합니다.
$$ 2(\alpha) + 3(2) = 12 $$
이제 \(\alpha\)에 대한 방정식을 풉니다.
$$ 2\alpha + 6 = 12 $$
상수항 6을 우변으로 이항합니다.
$$ 2\alpha = 12 – 6 $$
$$ 2\alpha = 6 $$
양변을 2로 나눕니다.
$$ \alpha = \frac{6}{2} = 3 $$
Step 4: 답 확인
Step 1에서 우리가 구하고자 하는 값 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)을 \(\alpha\)로 설정했으므로, 구한 \(\alpha = 3\)이 바로 답입니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = 3 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 수렴하는 무한급수의 기본적인 성질, 특히 선형성을 이해하고 적용할 수 있는지를 묻는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 급수의 수렴: 급수 \(\sum a_n\)이 수렴한다는 것은 그 부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)의 극한값이 존재한다는 의미입니다.
- 급수의 성질 (선형성): 두 급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)이 각각 수렴하면, 이들 급수의 합, 차, 상수배로 이루어진 새로운 급수 \(\sum (pa_n \pm qb_n)\)도 수렴하며, 그 합은 각 급수의 합을 이용하여 \(p\sum a_n \pm q\sum b_n\)와 같이 계산할 수 있습니다.
- 방정식 활용: 문제에서 구하고자 하는 값을 미지수로 설정하고, 주어진 조건과 급수의 성질을 이용하여 방정식을 세워 미지수의 값을 구하는 방식으로 문제를 해결할 수 있습니다.
수렴하는 급수에 대해서는 시그마(\(\sum\)) 기호를 마치 일반적인 합처럼 분배하거나 상수배를 앞으로 꺼내는 연산이 가능하다는 점을 기억하는 것이 중요합니다. (단, 각 급수가 수렴한다는 조건이 반드시 필요합니다.)
✅ 최종 정답
\(3\)