📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 두 급수 \(\sum \log a_n\)과 \(\sum \log b_n\)이 모두 수렴하고, 이와 관련된 다른 두 급수(\(\sum \log(a_n b_n)\)과 \(\sum \log \frac{a_n^3}{b_n}\))의 합이 주어졌을 때, 또 다른 급수 \(\sum \log \frac{a_n}{b_n^2}\)의 합을 구하는 문제입니다. 로그의 성질과 수렴하는 급수의 성질(선형성)을 결합하여 해결합니다.
- 로그 성질 적용: 주어진 급수들의 일반항에 포함된 로그 표현(\(\log(a_n b_n)\), \(\log \frac{a_n^3}{b_n}\), \(\log \frac{a_n}{b_n^2}\))을 로그의 성질을 이용하여 \(\log a_n\)과 \(\log b_n\)의 합 또는 차, 상수배로 변환합니다.
- 미지수 설정: 수렴하는 두 기본 급수의 합 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log a_n\)과 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log b_n\)을 각각 미지수 \(\alpha\), \(\beta\)로 설정합니다.
- 연립방정식 설정: 주어진 두 급수의 합(\(7\)과 \(1\))에 로그 성질과 급수의 선형성을 적용하여 \(\alpha\)와 \(\beta\)에 대한 연립 방정식을 세웁니다.
- 연립방정식 풀이: 세워진 연립 방정식을 풀어 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 값을 각각 구합니다.
- 목표 급수 값 계산: 구하고자 하는 급수 \(\sum \log \frac{a_n}{b_n^2}\)에도 로그 성질과 급수의 선형성을 적용하여 \(\alpha\)와 \(\beta\)로 표현한 후, 계산된 \(\alpha, \beta\) 값을 대입하여 최종 답을 구합니다.
로그의 성질 (밑은 10인 상용로그로 간주):
- \(\log(XY) = \log X + \log Y\)
- \(\log(\frac{X}{Y}) = \log X – \log Y\)
- \(\log(X^p) = p \log X\)
급수의 성질 (선형성):
두 급수 \(\sum u_n = U\), \(\sum v_n = V\) 가 각각 수렴하면,
$$ \sum (p u_n \pm q v_n) = p U \pm q V $$
(단, \(p, q\)는 상수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 조건 및 미지수 설정
두 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log a_n\)과 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log b_n\)이 모두 수렴합니다.
각 급수의 합을 다음과 같이 미지수로 설정합니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n = \alpha $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log b_n = \beta $$
문제에 주어진 추가 조건은 다음과 같습니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log (a_n b_n) = 7 \quad \cdots (1) $$
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log \frac{a_n^3}{b_n} = 1 \quad \cdots (2) $$
Step 2: 조건 (1)을 \(\alpha, \beta\)로 표현하기
로그의 성질 \(\log(XY) = \log X + \log Y\)를 이용하고, 급수의 선형성을 적용합니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log (a_n b_n) = \sum_{n=1}^{\infty} (\log a_n + \log b_n) $$
각 급수가 수렴하므로 분리할 수 있습니다.
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n + \sum_{n=1}^{\infty} \log b_n $$
Step 1에서 설정한 미지수를 대입하면,
$$ = \alpha + \beta $$
이 값이 7이므로 첫 번째 방정식을 얻습니다.
$$ \alpha + \beta = 7 \quad \cdots (A) $$
Step 3: 조건 (2)를 \(\alpha, \beta\)로 표현하기
로그의 성질 \(\log \frac{X^p}{Y} = p \log X – \log Y\)를 이용하고, 급수의 선형성을 적용합니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log \frac{a_n^3}{b_n} = \sum_{n=1}^{\infty} (\log a_n^3 – \log b_n) $$
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (3 \log a_n – \log b_n) $$
각 급수가 수렴하므로 분리할 수 있습니다.
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (3 \log a_n) – \sum_{n=1}^{\infty} \log b_n $$
$$ = 3 \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n – \sum_{n=1}^{\infty} \log b_n $$
Step 1에서 설정한 미지수를 대입하면,
$$ = 3\alpha – \beta $$
이 값이 1이므로 두 번째 방정식을 얻습니다.
$$ 3\alpha – \beta = 1 \quad \cdots (B) $$
Step 4: 연립방정식 풀이 (\(\alpha, \beta\) 값 구하기)
두 방정식 (A)와 (B)를 연립하여 \(\alpha\)와 \(\beta\)를 구합니다.
$$ \begin{cases} \alpha + \beta = 7 & (A) \\ 3\alpha – \beta = 1 & (B) \end{cases} $$
두 식을 변끼리 더하면 \(\beta\)가 소거됩니다.
$$ (\alpha + \beta) + (3\alpha – \beta) = 7 + 1 $$
$$ 4\alpha = 8 $$
$$ \alpha = 2 $$
구한 \(\alpha = 2\)를 식 (A)에 대입하여 \(\beta\)를 구합니다.
$$ 2 + \beta = 7 $$
$$ \beta = 5 $$
따라서 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log a_n = 2\) 이고 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log b_n = 5\) 입니다.
Step 5: 목표 급수 값 계산
구하고자 하는 급수는 \(\sum_{n=1}^{\infty} \log \frac{a_n}{b_n^2}\) 입니다.
로그의 성질 \(\log \frac{X}{Y^p} = \log X – p \log Y\)를 이용하고, 급수의 선형성을 적용합니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \log \frac{a_n}{b_n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} (\log a_n – \log b_n^2) $$
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} (\log a_n – 2 \log b_n) $$
각 급수가 수렴하므로 분리합니다.
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n – \sum_{n=1}^{\infty} (2 \log b_n) $$
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} \log a_n – 2 \sum_{n=1}^{\infty} \log b_n $$
Step 1에서 설정한 미지수 \(\alpha, \beta\)로 표현하면,
$$ = \alpha – 2\beta $$
Step 4에서 구한 \(\alpha = 2\)와 \(\beta = 5\)를 대입합니다.
$$ = 2 – 2(5) = 2 – 10 = -8 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 로그의 성질과 수렴하는 급수의 성질(선형성)을 결합하여 미지 급수의 합을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 로그의 기본 성질: 곱셈은 덧셈으로, 나눗셈은 뺄셈으로, 거듭제곱은 계수로 변환하는 로그의 성질을 정확히 적용해야 합니다. (\(\log(XY) = \log X + \log Y\), \(\log(X/Y) = \log X – \log Y\), \(\log(X^p) = p \log X\))
- 급수의 선형성: 수렴하는 급수들의 합, 차, 상수배는 각 급수의 합을 이용하여 계산할 수 있습니다. (\(\sum (pa_n \pm qb_n) = p\sum a_n \pm q\sum b_n\)) 이 성질은 시그마 기호를 분배하거나 상수를 꺼내는 것을 가능하게 합니다.
- 연립방정식: 문제에서 주어진 여러 개의 조건을 이용하여 미지수(여기서는 각 급수의 합 \(\alpha, \beta\))에 대한 연립 방정식을 세우고 푸는 과정이 필요합니다.
로그 항을 포함하는 급수 문제는 로그의 성질을 이용하여 급수의 일반항을 간단히 한 후, 급수의 성질을 적용하는 방식으로 접근하는 것이 일반적입니다.
✅ 최종 정답
\(-8\)