📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 수열 \(\{a_n\}\)과 그 짝수 번째 항으로 이루어진 부분수열 \(\{a_{2n}\}\), 그리고 관련 급수 \(\sum a_n\), \(\sum a_{2n}\)의 수렴성에 대한 명제의 참/거짓을 판별하는 문제입니다.
- 수열의 수렴 정의: 수열 \(\{a_n\}\)이 \(\alpha\)로 수렴한다는 것은 \(n\)이 한없이 커질 때 \(a_n\)의 값이 \(\alpha\)에 한없이 가까워짐을 의미합니다.
- 부분수열의 수렴: 어떤 수열이 수렴하면, 그 수열의 모든 부분수열(예: 짝수항만 뽑은 수열, 홀수항만 뽑은 수열 등)도 같은 값으로 수렴합니다.
- 급수의 수렴과 일반항의 극한: 급수 \(\sum a_n\)이 수렴하면 \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\)입니다. (역은 성립하지 않음)
- 급수의 수렴 정의 (부분합의 극한): 급수 \(\sum a_n\)은 부분합 \(S_n = \sum_{k=1}^n a_k\)의 극한 \(\lim_{n\to\infty} S_n\)이 존재하고 유한할 때 수렴한다고 합니다.
- 반례 찾기: 명제가 거짓임을 보이려면 성립하지 않는 구체적인 예를 찾아야 합니다.
✅ 단계별 보기 분석
ㄱ. 수열 \(\{a_n\}\)이 수렴하면 수열 \(\{a_{2n}\}\)도 수렴한다.
설명:
수열 \(\{a_n\}\)이 어떤 값 \(\alpha\)로 수렴한다는 것은 \(n\)이 무한히 커짐에 따라 \(a_n\)이 \(\alpha\)에 한없이 가까워진다는 뜻입니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = \alpha $$
수열 \(\{a_{2n}\}\)은 원래 수열 \(\{a_n\}\)의 항들 중에서 짝수 번째 항들(\(a_2, a_4, a_6, \dots\))만 뽑아서 만든 부분수열입니다.
원래 수열 \(a_n\)이 \(\alpha\)로 수렴하면, \(n\)이 짝수일 때도 당연히 \(a_n\)은 \(\alpha\)로 가까워집니다. 즉, \(n\) 대신 \(2n\)을 넣어도 극한값은 변하지 않습니다. (\(n \to \infty\)이면 \(2n \to \infty\)입니다.)
$$ \lim_{n\to\infty} a_{2n} = \alpha $$
따라서 수렴하는 수열의 부분수열은 항상 같은 값으로 수렴합니다.
결론: 명제 ㄱ은 참입니다.
ㄴ. 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하면 수열 \(\{a_{2n}\}\)도 수렴한다.
설명:
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴한다는 조건이 주어졌습니다.
급수가 수렴하기 위한 필요조건은 그 일반항의 극한값이 0이라는 것입니다.
$$ \lim_{n\to\infty} a_n = 0 $$
수열 \(\{a_n\}\)이 0으로 수렴하면, 그 부분수열인 \(\{a_{2n}\}\)도 같은 값인 0으로 수렴합니다 (명제 ㄱ과 같은 원리).
$$ \lim_{n\to\infty} a_{2n} = 0 $$
극한값이 0으로 존재하므로, 수열 \(\{a_{2n}\}\)은 수렴합니다.
결론: 명제 ㄴ은 참입니다.
ㄷ. 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)이 수렴하면 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}\)도 수렴한다.
설명:
급수 \(\sum a_n\)이 수렴한다고 해서, 그 부분수열의 항들로 이루어진 급수 \(\sum a_{2n}\)이 반드시 수렴하는 것은 아닙니다. 거짓임을 보이기 위해 반례를 찾습니다.
반례 제시:
수열 \(\{a_n\}\)을 다음과 같이 정의합니다.
$$ a_n = \begin{cases} -\frac{1}{k} & \text{if } n = 2k-1 \quad (n\text{은 홀수}) \\ \frac{1}{k} & \text{if } n = 2k \quad (n\text{은 짝수}) \end{cases} \quad (k=1, 2, 3, \dots) $$
즉, 수열은 \(-1, 1, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \dots\) 입니다.
1. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)의 수렴성 조사:
부분합 \(S_n\)을 구합니다.
- \(n = 2m\) (짝수)일 때:
\(S_{2m} = (a_1 + a_2) + (a_3 + a_4) + \dots + (a_{2m-1} + a_{2m})\)
\(= (-1 + 1) + (-\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + \dots + (-\frac{1}{m} + \frac{1}{m}) = 0\) - \(n = 2m – 1\) (홀수)일 때:
\(S_{2m-1} = S_{2m} – a_{2m} = 0 – \frac{1}{m} = -\frac{1}{m}\)
이제 부분합의 극한값을 구합니다.
$$ \lim_{m\to\infty} S_{2m} = \lim_{m\to\infty} 0 = 0 $$
$$ \lim_{m\to\infty} S_{2m-1} = \lim_{m\to\infty} -\frac{1}{m} = 0 $$
짝수 번째 부분합과 홀수 번째 부분합의 극한값이 모두 0으로 같으므로, \(\lim_{n\to\infty} S_n = 0\)입니다. 따라서 급수 \(\sum a_n\)은 0으로 수렴합니다.
2. \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}\)의 수렴성 조사:
수열 \(\{a_{2n}\}\)은 짝수 번째 항들로 이루어진 수열입니다. \(n=2k\)일 때 \(a_{2n} = a_{2k} = \frac{1}{k}\)입니다.
따라서 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}\)은 다음과 같습니다.
$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \dots $$
이것은 조화급수이며, 발산하는 것으로 알려져 있습니다.
반례 확인: 급수 \(\sum a_n\)은 수렴하지만, 급수 \(\sum a_{2n}\)은 발산합니다.
결론: 명제 ㄷ은 거짓입니다.
🧠 마무리 개념 정리
수열과 급수의 수렴성에 대한 관계를 정확히 이해하는 것이 중요합니다.
- 수열 수렴 \(\Rightarrow\) 부분수열 수렴: 수열 \(\{a_n\}\)이 \(\alpha\)로 수렴하면, 그 어떤 부분수열(예: \(\{a_{2n}\}, \{a_{2n-1}\}, \{a_{n^2}\}\) 등)도 반드시 \(\alpha\)로 수렴합니다. (명제 ㄱ: 참)
- 급수 수렴 \(\Rightarrow\) 일반항 극한 0: 급수 \(\sum a_n\)이 수렴하면, \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\)입니다.
- 급수 수렴 \(\Rightarrow\) 부분수열 극한 0: 급수 \(\sum a_n\)이 수렴하면 \(\lim a_n = 0\)이고, 따라서 그 부분수열 \(\{a_{2n}\}\)도 \(\lim a_{2n} = 0\)으로 수렴합니다. (명제 ㄴ: 참)
- 급수 수렴 \(\not\Rightarrow\) 부분수열 급수 수렴: 급수 \(\sum a_n\)이 수렴한다고 해서, 부분수열의 항으로 만든 급수 \(\sum a_{2n}\)이 반드시 수렴하는 것은 아닙니다. 위에서 제시된 반례(\(a_n = (-1)^n / \lceil n/2 \rceil\))를 기억해두는 것이 좋습니다. (명제 ㄷ: 거짓)
특히, 급수의 수렴 조건(\(\lim a_n = 0\))은 필요조건이지 충분조건이 아님을 명확히 이해해야 합니다.
✅ 최종 정답
옳은 것은 ㄱ, ㄴ입니다.
② ㄱ, ㄴ