📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 이차함수 \(y = x^2 – a_n x + b_n\)의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표를 알려주고, 이를 이용하여 수열 \(\{a_n\}\)과 \(\{b_n\}\)의 일반항을 구한 뒤, 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n}\)의 합을 계산하는 문제입니다.
- 이차방정식의 근 파악: 이차함수 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 이차방정식 \(x^2 – a_n x + b_n = 0\)의 두 근임을 이용합니다.
- 근과 계수의 관계 활용: 이차방정식의 두 근과 계수 사이의 관계를 이용하여 \(a_n\) (두 근의 합)과 \(b_n\) (두 근의 곱)의 일반항을 구합니다.
- \(\frac{a_n}{b_n}\) 계산 및 부분분수 분해: 구한 \(a_n\)과 \(b_n\)을 이용하여 급수의 일반항 \(\frac{a_n}{b_n}\)을 계산하고, 이 식이 부분분수로 분해 가능한 형태인지 확인합니다.
- 부분합 계산 (망원급수): 부분분수로 분해된 일반항을 이용하여 급수의 제\(n\)항까지의 부분합 \(S_n\)을 계산합니다. 이 과정에서 항들이 소거되는 망원급수 형태가 될 가능성이 높습니다.
- 급수의 합 계산 (부분합의 극한): 계산된 부분합 \(S_n\)의 극한값 \(\lim_{n\to\infty} S_n\)을 구하여 급수의 합을 결정합니다.
이차방정식 \(Ax^2 + Bx + C = 0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, 근과 계수의 관계:
- 두 근의 합: \(\alpha + \beta = -\frac{B}{A}\)
- 두 근의 곱: \(\alpha \beta = \frac{C}{A}\)
부분분수 분해:
- \(\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} – \frac{1}{B}\right)\)
급수와 부분합:
- \(\sum_{n=1}^{\infty} c_n = \lim_{n\to\infty} S_n\), 단 \(S_n = \sum_{k=1}^{n} c_k\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 이차방정식의 근 확인
이차함수 \(y = x^2 – a_n x + b_n\)의 그래프가 x축과 만나는 점은 \(y=0\)일 때의 x값이므로, 이차방정식 \(x^2 – a_n x + b_n = 0\)의 근입니다.
그래프가 두 점 \((n(n+1), 0)\)과 \(((n+1)(n+2), 0)\)을 지나므로, 이차방정식의 두 근은 \(n(n+1)\)과 \((n+1)(n+2)\)입니다.
Step 2: 근과 계수의 관계를 이용하여 \(a_n\)과 \(b_n\) 구하기
이차방정식 \(x^2 – a_n x + b_n = 0\)에 근과 계수의 관계를 적용합니다.
두 근의 합:
$$ n(n+1) + (n+1)(n+2) = – \frac{-a_n}{1} = a_n $$
\(a_n\)을 정리합니다. 공통인수 \((n+1)\)로 묶습니다.
$$ a_n = (n+1) [n + (n+2)] = (n+1)(2n+2) = (n+1) \cdot 2(n+1) = 2(n+1)^2 $$
두 근의 곱:
$$ n(n+1) \times (n+1)(n+2) = \frac{b_n}{1} = b_n $$
따라서,
$$ b_n = n(n+1)^2(n+2) $$
Step 3: 급수의 일반항 \(\frac{a_n}{b_n}\) 계산 및 부분분수 분해
이제 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n}\)의 일반항을 계산합니다.
$$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{2(n+1)^2}{n(n+1)^2(n+2)} $$
\((n+1)^2\) 항을 약분합니다. (단, \(n \ge 1\)이므로 \(n+1 \neq 0\))
$$ \frac{a_n}{b_n} = \frac{2}{n(n+2)} $$
이 일반항을 부분분수로 분해합니다. \(\frac{1}{AB} = \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} – \frac{1}{B})\) 공식을 이용합니다.
$$ \frac{2}{n(n+2)} = 2 \times \frac{1}{n(n+2)} = 2 \times \frac{1}{(n+2)-n} \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) $$
$$ = 2 \times \frac{1}{2} \left(\frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\right) = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2} $$
Step 4: 부분합 \(S_n\) 계산 (망원급수)
급수의 제\(n\)항까지의 부분합 \(S_n\)을 계산합니다.
$$ S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{a_k}{b_k} = \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k} – \frac{1}{k+2}\right) $$
항을 순서대로 나열하여 소거되는 규칙을 찾습니다.
\(k=1: \quad 1 – \frac{1}{3}\)
\(k=2: \quad \frac{1}{2} – \frac{1}{4}\)
\(k=3: \quad \frac{1}{3} – \frac{1}{5}\)
\(k=4: \quad \frac{1}{4} – \frac{1}{6}\)
\(\vdots\)
\(k=n-1: \quad \frac{1}{n-1} – \frac{1}{n+1}\)
\(k=n: \quad \frac{1}{n} – \frac{1}{n+2}\)
더하면, \(-\frac{1}{3}\)과 세 번째 항의 \(\frac{1}{3}\)이 소거되고, \(-\frac{1}{4}\)와 네 번째 항의 \(\frac{1}{4}\)가 소거되는 방식입니다.
결과적으로 앞에서 양수 항 \(1\)과 \(\frac{1}{2}\)이 남고, 뒤에서 음수 항 \(-\frac{1}{n+1}\)과 \(-\frac{1}{n+2}\)가 남습니다.
$$ S_n = \left(1 + \frac{1}{2}\right) – \left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2}\right) = \frac{3}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2} $$
(해설 이미지의 \(S_n\) 전개와 남는 항이 약간 다르게 표현되었지만, 최종 결과는 동일합니다. 해설은 \( (1-\cancel{\frac{1}{3}}) + (\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{4}}) + (\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{5}}) + \dots + (\cancel{\frac{1}{n-1}} – \frac{1}{n+1}) + (\cancel{\frac{1}{n}} – \frac{1}{n+2}) \) 로 보고 \(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\) 로 정리했습니다.)
Step 5: 급수의 합 계산 (부분합의 극한)
급수의 합은 부분합 \(S_n\)의 극한값입니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{3}{2} – \frac{1}{n+1} – \frac{1}{n+2}\right) $$
\(n \to \infty\)일 때 \(\frac{1}{n+1} \to 0\)이고 \(\frac{1}{n+2} \to 0\)이므로,
$$ = \frac{3}{2} – 0 – 0 = \frac{3}{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이차함수와 이차방정식의 관계, 근과 계수의 관계, 급수와 부분합, 그리고 부분분수 분해를 이용한 망원급수 계산 등 여러 개념을 종합적으로 활용합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 이차함수와 x절편: 이차함수 \(y=f(x)\)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 이차방정식 \(f(x)=0\)의 실근입니다.
- 근과 계수의 관계: 이차방정식 \(Ax^2+Bx+C=0\)의 두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\alpha+\beta = -B/A\), \(\alpha\beta = C/A\)입니다. 이 문제에서는 \(x^2 – a_n x + b_n = 0\) 이므로 두 근의 합이 \(a_n\), 두 근의 곱이 \(b_n\)이 됩니다.
- 부분분수 분해: 급수의 합을 구할 때, 일반항이 분수 형태이면 부분분수로 분해하여 부분합 계산 시 항들이 소거되는지 확인하는 것이 중요합니다. \(\frac{k}{A \cdot B}\) 형태는 \(k \times \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} – \frac{1}{B})\)로 변형됩니다.
- 망원급수 (Telescoping Series): 부분합 \(S_n\)을 계산할 때, 중간의 항들이 규칙적으로 소거되고 처음 몇 개의 항과 끝 몇 개의 항만 남는 형태의 급수입니다. 부분합의 극한을 쉽게 구할 수 있습니다.
- 급수의 합: 무한급수의 합은 제\(n\)항까지의 부분합 \(S_n\)의 극한값(\(\lim_{n\to\infty} S_n\))으로 정의됩니다.
주어진 조건을 이용하여 수열의 일반항(\(a_n, b_n\))을 먼저 구하고, 이를 바탕으로 급수의 일반항을 간단히 한 후, 부분합의 극한을 통해 급수의 합을 구하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
③ \(\frac{3}{2}\)