📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 자연수 \(n\)에 대해 곡선 \(y = \frac{1}{x+2}\) 위의 점 \(P_n\)과 \(P_{n+1}\) 및 좌표축으로 둘러싸인 두 직사각형 넓이의 차이(\(S_n\))를 구하고, 그 차이들의 무한급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n\)의 합을 계산하는 문제입니다.
- 점의 좌표 확인: 점 \(P_n\)과 \(P_{n+1}\)의 좌표를 정확히 파악합니다.
- 사각형 넓이 계산: 점 \(P_n\)과 원점 O, 그리고 \(P_n\)에서 각 축에 내린 수선의 발 \(R_n, Q_n\)으로 이루어진 직사각형 \(P_n Q_n O R_n\)의 넓이를 \(n\)에 대한 식으로 구합니다. 마찬가지로 점 \(P_{n+1}\)에 대한 직사각형 \(P_{n+1} Q_{n+1} O R_{n+1}\)의 넓이를 구합니다. (사각형 넓이 = 가로 × 세로)
- 넓이의 차 \(S_n\) 계산: 두 직사각형 넓이의 차이를 계산하여 \(S_n\)을 \(n\)에 대한 식으로 나타냅니다. \(S_n = \text{Area}(P_{n+1}Q_{n+1}OR_{n+1}) – \text{Area}(P_n Q_n O R_n)\)
- \(S_n\) 부분분수 분해: 계산된 \(S_n\) 식이 부분분수로 분해 가능한 형태인지 확인하고, 분해합니다.
- 부분합 계산 (망원급수): 급수 \(\sum S_n\)의 제\(n\)항까지의 부분합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} S_k\)를 계산합니다. 부분분수 분해를 통해 망원급수 형태가 될 가능성이 높습니다.
- 급수의 합 계산 (부분합의 극한): 계산된 부분합 \(T_n\)의 극한값 \(\lim_{n\to\infty} T_n\)을 구하여 급수의 합을 결정합니다.
기본 공식:
- 직사각형 넓이 = 가로 × 세로
- 부분분수 분해: \(\frac{k}{AB} = k \times \frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A} – \frac{1}{B}\right)\)
- 급수와 부분합: \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} T_n\), 단 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} S_k\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 점의 좌표 및 관련 길이 확인
곡선 \(y = \frac{1}{x+2}\) 위의 점 \(P_n\)의 좌표는 \(P_n\left(n, \frac{1}{n+2}\right)\)입니다.
\(P_n\)에서 x축에 내린 수선의 발은 \(R_n(n, 0)\), y축에 내린 수선의 발은 \(Q_n(0, \frac{1}{n+2})\)입니다.
직사각형 \(P_n Q_n O R_n\)의 가로 길이는 \(\overline{OR_n} = n\)이고, 세로 길이는 \(\overline{OQ_n} = \frac{1}{n+2}\)입니다.
마찬가지로, 점 \(P_{n+1}\)의 좌표는 \(P_{n+1}\left(n+1, \frac{1}{(n+1)+2}\right) = P_{n+1}\left(n+1, \frac{1}{n+3}\right)\)입니다.
\(R_{n+1}(n+1, 0)\), \(Q_{n+1}(0, \frac{1}{n+3})\)입니다.
직사각형 \(P_{n+1} Q_{n+1} O R_{n+1}\)의 가로 길이는 \(\overline{OR_{n+1}} = n+1\)이고, 세로 길이는 \(\overline{OQ_{n+1}} = \frac{1}{n+3}\)입니다.
Step 2: 각 직사각형의 넓이 계산
직사각형 \(P_n Q_n O R_n\)의 넓이를 \(Area_n\)이라고 하면,
$$ Area_n = (\text{가로}) \times (\text{세로}) = \overline{OR_n} \times \overline{OQ_n} = n \times \frac{1}{n+2} = \frac{n}{n+2} $$
직사각형 \(P_{n+1} Q_{n+1} O R_{n+1}\)의 넓이를 \(Area_{n+1}\)이라고 하면,
$$ Area_{n+1} = \overline{OR_{n+1}} \times \overline{OQ_{n+1}} = (n+1) \times \frac{1}{n+3} = \frac{n+1}{n+3} $$
Step 3: 넓이의 차 \(S_n\) 계산
\(S_n\)은 두 사각형 넓이의 차이입니다. \(S_n = Area_{n+1} – Area_n\).
$$ S_n = \frac{n+1}{n+3} – \frac{n}{n+2} $$
통분하여 계산합니다. 공통분모는 \((n+3)(n+2)\)입니다.
$$ S_n = \frac{(n+1)(n+2) – n(n+3)}{(n+2)(n+3)} $$
분자를 전개하여 정리합니다.
$$ = \frac{(n^2 + 3n + 2) – (n^2 + 3n)}{(n+2)(n+3)} $$
$$ = \frac{n^2 + 3n + 2 – n^2 – 3n}{(n+2)(n+3)} = \frac{2}{(n+2)(n+3)} $$
따라서 급수의 일반항은 \(S_n = \frac{2}{(n+2)(n+3)}\)입니다.
Step 4: \(S_n\) 부분분수 분해
일반항 \(S_n\)을 부분분수로 분해합니다. \(\frac{k}{AB} = k \times \frac{1}{B-A}(\frac{1}{A} – \frac{1}{B})\) 공식을 이용합니다.
$$ S_n = \frac{2}{(n+2)(n+3)} = 2 \times \frac{1}{(n+3)-(n+2)} \left(\frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3}\right) $$
$$ = 2 \times \frac{1}{1} \left(\frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3}\right) = 2 \left(\frac{1}{n+2} – \frac{1}{n+3}\right) $$
Step 5: 부분합 \(T_n\) 계산 (망원급수)
급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n\)의 제\(n\)항까지의 부분합 \(T_n = \sum_{k=1}^{n} S_k\)를 계산합니다.
$$ T_n = \sum_{k=1}^{n} 2 \left(\frac{1}{k+2} – \frac{1}{k+3}\right) = 2 \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k+2} – \frac{1}{k+3}\right) $$
항을 순서대로 나열하여 소거되는 규칙을 찾습니다.
$$ = 2 \left[ \left(\frac{1}{3} – \cancel{\frac{1}{4}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{4}} – \cancel{\frac{1}{5}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{5}} – \cancel{\frac{1}{6}}\right) + \dots + \left(\cancel{\frac{1}{n+1}} – \cancel{\frac{1}{n+2}}\right) + \left(\cancel{\frac{1}{n+2}} – \frac{1}{n+3}\right) \right] $$
중간 항들이 모두 소거되고 처음 항 \(\frac{1}{3}\)과 마지막 항 \(-\frac{1}{n+3}\)만 남습니다.
$$ T_n = 2 \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{n+3} \right) $$
Step 6: 급수의 합 계산 (부분합의 극한)
급수의 합은 부분합 \(T_n\)의 극한값입니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} T_n = \lim_{n\to\infty} 2 \left( \frac{1}{3} – \frac{1}{n+3} \right) $$
\(n \to \infty\)일 때 \(\frac{1}{n+3} \to 0\)이므로,
$$ = 2 \left( \frac{1}{3} – 0 \right) = 2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 함수 위의 점의 좌표를 이용하여 도형(직사각형)의 넓이를 계산하고, 그 넓이의 차이로 정의된 수열의 무한급수의 합을 구하는 문제입니다. 부분분수 분해와 망원급수의 개념이 핵심적으로 사용됩니다.
- 좌표와 길이/넓이: 좌표평면 위의 점의 좌표는 원점 또는 축으로부터의 거리를 나타내며, 이를 이용하여 도형의 변의 길이나 넓이를 계산할 수 있습니다. 원점과 점 \((x, y)\)를 꼭짓점으로 하고 축에 평행한 직사각형의 넓이는 \(|x| \times |y|\)입니다. (이 문제에서는 \(x, y\)가 모두 양수)
- 수열의 일반항 구하기: 문제에서 정의된 \(S_n\) (넓이의 차이)를 \(n\)에 대한 식으로 정확하게 구하는 것이 중요합니다.
- 부분분수 분해: 급수의 일반항이 \(\frac{k}{(an+b)(an+c)}\) 와 같은 형태일 때, 부분분수 \(\frac{k}{c-b}\left(\frac{1}{an+b} – \frac{1}{an+c}\right)\) 로 변형하여 부분합 계산을 용이하게 합니다.
- 망원급수 (Telescoping Series): 부분합 \(S_n\)을 계산할 때, \((f(k) – f(k+p))\) 형태의 합으로 나타나 중간 항들이 규칙적으로 소거되고 처음과 끝의 몇 개 항만 남는 급수입니다. 극한 계산이 용이합니다.
- 급수의 합과 부분합의 극한: 무한급수의 합은 정의에 따라 부분합의 극한값과 같습니다. \(\sum_{n=1}^{\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} S_k\).
곡선 위의 점들을 이용하여 정의된 수열이나 급수 문제는 좌표를 이용해 길이와 넓이를 식으로 표현하고, 그 식의 형태(부분분수 등)를 파악하여 급수의 합을 계산하는 방식으로 접근하는 경우가 많습니다.
✅ 최종 정답
③ \(\frac{2}{3}\)