📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 무한급수의 합을 구하는 문제입니다. 급수의 일반항이 두 등비수열의 합 형태로 나타낼 수 있음을 파악하고, 수렴하는 급수의 성질(선형성)과 등비급수의 합 공식을 이용하는 전략을 사용합니다.
- 일반항 분리: 급수의 일반항 \(\frac{2^n + (-1)^n}{3^n}\)을 두 개의 분수 \(\frac{2^n}{3^n}\)과 \(\frac{(-1)^n}{3^n}\)의 합으로 분리합니다.
- 각 항 정리: 분리된 각 항을 \((\text{공비})^n\) 형태로 정리합니다.
- 급수 분리: 수렴하는 급수의 성질을 이용하여 원래 급수를 두 개의 등비급수의 합으로 분리합니다. \(\sum (a_n + b_n) = \sum a_n + \sum b_n\) (단, 각 급수가 수렴할 때)
- 등비급수 수렴 조건 확인: 분리된 각 등비급수의 공비(\(r\))를 확인하고, \(|r| < 1\)인지 판별하여 수렴 여부를 확인합니다.
- 등비급수 합 공식 적용: 수렴하는 각 등비급수에 대해 합 공식 \(\frac{a}{1-r}\) (여기서 \(a\)는 첫째항, \(r\)은 공비)을 적용하여 각각의 합을 구합니다.
- 최종 합 계산: 각 등비급수의 합을 더하여 원래 급수의 합을 구합니다.
등비급수의 합 공식:
첫째항이 \(a\)이고 공비가 \(r\)인 등비급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\)은
- \(|r| < 1\) 일 때 수렴하고, 그 합은 \(\frac{a}{1-r}\) 입니다.
- \(|r| \ge 1\) 일 때 발산합니다.
(주의: 위 공식은 \(n=1\)부터 시작하는 급수의 첫째항이 \(a\)일 때입니다. 만약 급수가 \(\sum_{n=1}^{\infty} (r)^n\) 형태라면 첫째항은 \(r\)이 됩니다.)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 급수의 일반항 분리 및 정리
주어진 급수는 \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + (-1)^n}{3^n}\) 입니다.
일반항을 두 개의 분수로 분리합니다.
$$ \frac{2^n + (-1)^n}{3^n} = \frac{2^n}{3^n} + \frac{(-1)^n}{3^n} $$
각 항을 지수법칙 \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\)을 이용하여 정리합니다.
$$ = \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(-\frac{1}{3}\right)^n $$
Step 2: 급수 분리 및 각 급수 형태 확인
급수의 일반항이 두 부분의 합으로 표현되었으므로, 급수의 선형성을 이용하여 두 개의 급수로 분리할 수 있습니다. (단, 분리된 각 급수가 수렴하는지 확인해야 합니다.)
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + (-1)^n}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \left\{ \left(\frac{2}{3}\right)^n + \left(-\frac{1}{3}\right)^n \right\} $$
$$ = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n + \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n $$
분리된 두 급수는 모두 등비급수 형태입니다.
- 첫 번째 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{2}{3})^n\): 첫째항 \(a_1 = \frac{2}{3}\), 공비 \(r_1 = \frac{2}{3}\)
- 두 번째 급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n\): 첫째항 \(a_2 = -\frac{1}{3}\), 공비 \(r_2 = -\frac{1}{3}\)
Step 3: 각 등비급수의 수렴 조건 확인 및 합 계산
각 급수의 공비의 절댓값을 확인하여 수렴 여부를 판단합니다.
- 첫 번째 급수: \(|r_1| = |\frac{2}{3}| = \frac{2}{3} < 1\). 따라서 수렴합니다.
- 두 번째 급수: \(|r_2| = |-\frac{1}{3}| = \frac{1}{3} < 1\). 따라서 수렴합니다.
두 급수 모두 수렴하므로, Step 2에서 급수를 분리한 것은 타당합니다.
이제 각 급수의 합을 등비급수 합 공식 \(\frac{a}{1-r}\)을 이용하여 계산합니다.
(주의: 이 문제의 급수는 \(\sum r^n\) 형태이므로 첫째항이 \(a=r\) 입니다.)
첫 번째 급수의 합:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{\text{첫째항}}{1 – \text{공비}} = \frac{\frac{2}{3}}{1 – \frac{2}{3}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2 $$
두 번째 급수의 합:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \left(-\frac{1}{3}\right)^n = \frac{\text{첫째항}}{1 – \text{공비}} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 – (-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{4} $$
Step 4: 최종 합 계산
원래 급수의 합은 Step 3에서 구한 두 등비급수의 합을 더한 값입니다.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + (-1)^n}{3^n} = (\text{첫 번째 급수 합}) + (\text{두 번째 급수 합}) $$
$$ = 2 + \left(-\frac{1}{4}\right) $$
$$ = 2 – \frac{1}{4} = \frac{8}{4} – \frac{1}{4} = \frac{7}{4} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 등비급수의 합 계산 능력을 평가하는 문제입니다. 특히, 일반항이 여러 항의 합으로 구성된 경우 급수의 선형성을 이용하여 각각의 급수로 분리하여 계산하는 방법을 이해하는 것이 중요합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 지수법칙: \(\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n\). 이를 이용하여 일반항을 등비수열 형태로 변환합니다.
- 급수의 선형성: 수렴하는 두 급수 \(\sum a_n\)과 \(\sum b_n\)에 대해 \(\sum (p a_n \pm q b_n) = p \sum a_n \pm q \sum b_n\)이 성립합니다. 이를 이용해 급수를 분리하거나 결합할 수 있습니다.
- 등비급수의 수렴 조건 및 합 공식: 등비급수 \(\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}\) (또는 \(\sum_{n=1}^{\infty} cr^n\))는 공비 \(r\)이 \(|r| < 1\)일 때 수렴하며, 그 합은 \(\frac{a}{1-r}\) (첫째항 / (1 - 공비)) 입니다. 급수의 시작 항(\(n=1\)인지 \(n=0\)인지 등)과 일반항 형태에 따라 첫째항이 달라질 수 있음에 유의해야 합니다.
주어진 급수의 일반항을 기본적인 등비수열 형태로 분리하고, 각 부분이 등비급수의 수렴 조건을 만족하는지 확인한 후, 합 공식을 적용하여 전체 합을 계산하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
① \(\frac{7}{4}\)