📘 문제
급수 $$ \left(\frac{1}{2} – \frac{2}{3}\right) + \left(\frac{2}{3} – \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{3}{4} – \frac{4}{5}\right) + \cdots $$ 의 합을 구하여라.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 급수 일반항 구조 파악
급수의 각 항을 살펴보면 다음과 같은 구조임을 알 수 있습니다. $$ \left(\frac{n}{n+1} – \frac{n+1}{n+2}\right) $$ 따라서 급수는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $$ S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{n}{n+1} – \frac{n+1}{n+2} \right) $$
Step 2: 망원급수 형태 확인
이 급수는 소거되는 망원급수(Telescoping series, 한국에서는 ‘망원급수’)의 형태입니다. 앞뒤 항이 사라지고 고정된 값만 남게 됩니다. 부분합을 계산해보면: $$ S_n = \left( \frac{1}{2} – \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} – \frac{3}{4} \right) + \cdots + \left( \frac{n}{n+1} – \frac{n+1}{n+2} \right) $$ 중간의 항들이 모두 소거되어 다음과 같이 됩니다: $$ S_n = \frac{1}{2} – \frac{n+1}{n+2} $$
Step 3: 극한 계산
이제 무한급수의 합을 구하기 위해 극한을 계산합니다. $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} – \frac{n+1}{n+2} \right) $$ 우변에서, $$ \frac{n+1}{n+2} \to 1 \quad \text{(n이 무한히 커질 때)} $$ 따라서, $$ \lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1}{2} – 1 = -\frac{1}{2} $$
✅ 최종 정답
정답: \( -\frac{1}{2} \)
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 망원급수의 대표적인 예시입니다. 망원급수란 항들이 서로 소거되어 일정한 값만 남는 급수를 의미합니다. 예를 들어, $$ \left( \frac{1}{2} – \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{2}{3} – \frac{3}{4} \right) + \cdots $$ 처럼 앞뒤 항이 차례대로 사라지는 구조로, 초기값이나 마지막 몇 항만 남게 됩니다.
이때 중요한 포인트는 부분합을 계산해보고 그 값을 극한으로 보냈을 때 남는 항을 통해 전체 급수의 합을 구할 수 있다는 것입니다.