급수의 합을 구하는 문제
다음 급수의 합을 구하여라:
\[ 1 + \frac{1}{1+2} + \frac{1}{1+2+3} + \cdots \]
📘 문제 요약
자연수의 합을 이용한 무한급수 계산 문제이다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔹 Step 1. 일반항 정리
\[ \text{자연수의 합: } 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2} \] \[ a_n = \frac{1}{1+2+\cdots+n} = \frac{2}{n(n+1)} \]
🔹 Step 2. 항 분리 (부분 분수 분해)
\[ \frac{2}{n(n+1)} = 2 \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \]
🔹 Step 3. 급수 전개 (망원경 급수 구조)
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} 2 \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \] \[ = 2\left( \frac{1}{1} – \frac{1}{2} + \frac{1}{2} – \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} \right) \] \[ = 2\left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) \]
🔹 Step 4. 극한 계산
\[ \lim_{n \to \infty} 2\left( 1 – \frac{1}{n+1} \right) = 2(1 – 0) = 2 \]
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 망원경 급수(telescoping series)의 대표적인 예로, 부분 분수 분해를 통해 대부분의 항이 소거되고 간단히 합을 구할 수 있는 구조이다.
✅ 최종 정답
\[ \boxed{2} \]