문제
다음 급수의 값을 구하여라.
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( 1 – \frac{1}{(n+1)^2} \right)
\]
풀이
급수의 일반항을 살펴보면 다음과 같이 쓸 수 있습니다. \[ \log_2 \left( 1 – \frac{1}{(n+1)^2} \right) = \log_2 \left( \frac{(n+1)^2 – 1}{(n+1)^2} \right) = \log_2 \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) \] 이제 이 급수를 합하면, \[ \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) \] 로그의 성질에 따라, 합은 로그의 곱으로 바뀝니다: \[ = \log_2 \left( \prod_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) \] 이 곱셈을 전개해보면, \[ = \log_2 \left( \frac{1 \cdot 3}{2^2} \cdot \frac{2 \cdot 4}{3^2} \cdot \frac{3 \cdot 5}{4^2} \cdot \cdots \cdot \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) \] 이 곱은 망원곱(telescoping product)의 형태로, 많은 항들이 약분됩니다. 계산해 보면 다음과 같은 결과가 됩니다. \[ = \log_2 \left( \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right) \] 그리고 무한히 곱할 경우 극한을 취하면: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \frac{1 \cdot 1}{1^2} = 1 \] 따라서 전체 급수의 합은: \[ \log_2 \left( \frac{1}{2} \right) = -1 \]
정답
정답은 ② -1입니다.