문제
수열 \( \{a_n\} \)의 일반항이 \( a_n = n^2 + 4n \)일 때,
급수 \( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( 1 + \frac{3}{a_n} \right) \)의 합을 구하여라.
풀이
먼저 수열의 일반항이 \( a_n = n^2 + 4n \)이므로,
\[ \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( 1 + \frac{3}{a_n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( \frac{a_n + 3}{a_n} \right) \]
\[ = \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( \frac{n^2 + 4n + 3}{n^2 + 4n} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( \frac{(n+1)(n+3)}{n(n+4)} \right) \]
따라서, \[ \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( \frac{n+1}{n} \cdot \frac{n+3}{n+4} \right) = \sum_{n=1}^{\infty} \left[ \log_2 \left( \frac{n+1}{n} \right) + \log_2 \left( \frac{n+3}{n+4} \right) \right] \]
이를 부분합으로 나타내면, \[ S_n = \log_2 \left( \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdots \frac{n+1}{n} \right) + \log_2 \left( \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \cdot \cdots \frac{n+3}{n+4} \right) \]
앞의 곱은 망원망원 망각되고, \[ \log_2 \left( \frac{n+1}{1} \right) + \log_2 \left( \frac{4}{n+4} \right) = \log_2 \left( \frac{4(n+1)}{n+4} \right) \]
따라서, \[ \sum_{n=1}^{\infty} \log_2 \left( 1 + \frac{3}{a_n} \right) = \lim_{n \to \infty} \log_2 \left( \frac{4(n+1)}{n+4} \right) = \log_2 4 = 2 \]
정답
정답은 2입니다.