📌 문제 정확히 이해하기
세 개의 수가 주어졌습니다.
\[ \sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3}}, \quad \sqrt[4]{3 \sqrt[3]{2}}, \quad \sqrt[3]{6 \sqrt[6]{6}} \]이들 중에서 가장 작은 수를 \( a \), 가장 큰 수를 \( b \)라고 할 때, 다음 부등식을 만족하는 자연수 \( n \)의 개수를 구하는 문제입니다.
\[ a < \sqrt[6]{n} < b \]✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 주어진 수를 간단한 형태로 변형하기
첫 번째 수: \( \sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3}} \)
\[ \sqrt[3]{3 \sqrt[3]{3}} \]세제곱근의 곱은 지수법칙을 활용하여
\[ = \sqrt[3]{3 \times 3^{1/3}} = \sqrt[3]{3^{4/3}} \]이를 여섯 제곱근 형태로 변환하면,
\[ = \sqrt[6]{(3^{4/3})^2} = \sqrt[6]{3^{8/3}} = \sqrt[6]{81} \]두 번째 수: \( \sqrt[4]{3 \sqrt[3]{2}} \)
\[ \sqrt[4]{3 \sqrt[3]{2}} \]각 항을 여섯 제곱근으로 변환하면,
\[ = \sqrt[6]{128} \]세 번째 수: \( \sqrt[3]{6 \sqrt[6]{6}} \)
\[ \sqrt[3]{6 \sqrt[6]{6}} \]각 항을 여섯 제곱근으로 변환하면,
\[ = \sqrt[6]{216} \][Step 2] 가장 작은 값 \( a \)와 가장 큰 값 \( b \) 찾기
이제 각 수를 비교하면,
\[ \sqrt[6]{81} < \sqrt[6]{128} < \sqrt[6]{216} \]따라서,
- 가장 작은 수 \( a = \sqrt[6]{81} \)
- 가장 큰 수 \( b = \sqrt[6]{216} \)
주어진 부등식은 다음과 같이 변형됩니다.
\[ \sqrt[6]{81} < \sqrt[6]{n} < \sqrt[6]{216} \][Step 3] 자연수 \( n \)의 범위 찾기
양변을 6제곱하여, 정수형 부등식으로 변형하면,
\[ 81 < n < 216 \]이제 81보다 크고 216보다 작은 자연수를 찾습니다.
\[ n = 82, 83, 84, \dots, 215 \]이 숫자의 개수를 구하면,
\[ \text{최댓값} – \text{최솟값} + 1 \] \[ = 215 – 82 + 1 = 134 \]🎯 최종 정답 확인하기
따라서 정답은:
\[ \boxed{134} \]