원과 부채꼴 둘레 관계 및 중심각 계산 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 반지름의 길이가 같은 원과 부채꼴의 둘레 길이 사이에 주어진 관계(원의 둘레 = 부채꼴 둘레 × 2)를 이용하여 부채꼴의 중심각 크기를 구하는 문제입니다. 원의 둘레, 부채꼴의 둘레, 부채꼴의 호의 길이와 중심각 사이의 관계 공식을 활용합니다.
- 주어진 정보 확인: 원과 부채꼴의 반지름 \(r=2\) 임을 확인합니다.
- 원의 둘레 계산: 원의 둘레 길이 공식을 이용하여 원의 둘레를 구합니다.
- 부채꼴 둘레 표현: 부채꼴의 둘레는 두 개의 반지름과 호의 길이의 합으로 구성됩니다. 호의 길이를 미지수 \(l\)로 두고 부채꼴의 둘레를 \(l\)에 대한 식으로 나타냅니다.
- 둘레 관계식 설정: 문제에서 주어진 조건 “원의 둘레 길이 = 부채꼴의 둘레 길이 × 2″를 이용하여 \(l\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 호의 길이 계산: 방정식을 풀어 호의 길이 \(l\)의 값을 구합니다.
- 중심각 계산: 부채꼴의 호의 길이와 중심각 사이의 관계식 \(l = r\theta\) (단, \(\theta\)는 라디안 단위)를 이용하여 중심각 \(\theta\)의 크기를 계산합니다.
기본 공식:
반지름 \(r\)인 원:
- 둘레 \(C = 2\pi r\)
반지름 \(r\), 중심각 \(\theta\) (라디안)인 부채꼴:
- 호의 길이 \(l = r\theta\)
- 둘레 = \(2r + l = 2r + r\theta\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 정보 확인 및 원의 둘레 계산
원과 부채꼴의 반지름 \(r = 2\)입니다.
원의 둘레 길이 \(C\)를 계산합니다.
$$ C = 2\pi r = 2\pi (2) = 4\pi $$
Step 2: 부채꼴 둘레 표현
부채꼴의 호의 길이를 \(l\)이라고 설정합니다.
부채꼴의 둘레는 두 반지름 길이와 호의 길이의 합입니다.
$$ \text{부채꼴 둘레} = r + r + l = 2r + l $$
반지름 \(r=2\)를 대입하면,
$$ \text{부채꼴 둘레} = 2(2) + l = 4 + l $$
Step 3: 둘레 관계식 설정 및 호의 길이 계산
문제에서 “원의 둘레의 길이가 부채꼴의 둘레의 길이의 2배일 때”라고 주어졌습니다.
$$ (\text{원의 둘레}) = 2 \times (\text{부채꼴 둘레}) $$
Step 1과 Step 2에서 구한 식을 대입합니다.
$$ 4\pi = 2 \times (4 + l) $$
이 방정식을 \(l\)에 대해 풉니다.
$$ 4\pi = 8 + 2l $$
$$ 2l = 4\pi – 8 $$
양변을 2로 나눕니다.
$$ l = \frac{4\pi – 8}{2} = 2\pi – 4 $$
따라서 부채꼴의 호의 길이는 \(2\pi – 4\)입니다.
Step 4: 중심각 크기 계산
부채꼴의 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 이용합니다. 여기서 \(\theta\)는 중심각의 크기(라디안)입니다.
Step 3에서 구한 \(l = 2\pi – 4\)와 주어진 반지름 \(r = 2\)를 대입합니다.
$$ 2\pi – 4 = 2 \times \theta $$
양변을 2로 나누어 \(\theta\)를 구합니다.
$$ \theta = \frac{2\pi – 4}{2} = \pi – 2 $$
따라서 부채꼴의 중심각의 크기는 \(\pi – 2\) 라디안입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원의 둘레와 부채꼴의 둘레, 그리고 부채꼴의 호의 길이와 중심각 사이의 관계에 대한 공식을 정확히 알고 적용하는지를 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원의 둘레: 반지름 \(r\)인 원의 둘레는 \(C = 2\pi r\)입니다.
- 부채꼴의 둘레: 반지름 \(r\), 호의 길이 \(l\)인 부채꼴의 둘레는 \(2r + l\)입니다.
- 부채꼴의 호의 길이와 중심각: 반지름 \(r\), 중심각 \(\theta\) (단위: 라디안)인 부채꼴의 호의 길이는 \(l = r\theta\)입니다. 이 공식을 사용하려면 중심각이 반드시 라디안 단위여야 합니다.
- 방정식 풀이: 주어진 조건을 이용하여 미지수(호의 길이 \(l\), 중심각 \(\theta\))에 대한 방정식을 세우고 푸는 과정이 필요합니다.
원과 부채꼴 관련 문제에서는 둘레, 넓이, 호의 길이, 중심각 등의 공식을 정확히 기억하고, 문제에서 주어진 조건에 맞게 식을 세우는 것이 중요합니다. 특히 중심각의 단위(도 또는 라디안)를 확인하고 공식에 맞게 사용하는 것이 필요합니다 (호의 길이 공식 \(l=r\theta\)는 \(\theta\)가 라디안일 때 성립).
✅ 최종 정답
③ \(\pi – 2\)