부채꼴 넓이 최대 조건 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 둘레의 길이가 6으로 일정한 부채꼴 중에서 넓이가 최대가 되는 경우의 반지름 길이를 구하는 문제입니다. 부채꼴의 반지름과 호의 길이, 넓이 사이의 관계를 이용하여 넓이를 반지름에 대한 이차함수로 나타내고, 이차함수의 최댓값을 구하는 방법을 사용합니다.
- 미지수 설정: 부채꼴의 반지름 길이를 미지수 \(r\)로 설정합니다. (반지름 길이는 양수이므로 \(r > 0\))
- 호의 길이 표현: 부채꼴의 둘레 길이가 6임을 이용하여 호의 길이 \(l\)을 반지름 \(r\)에 대한 식으로 나타냅니다. (\(\text{둘레} = 2r + l = 6\))
- 넓이 공식 적용: 부채꼴의 넓이 공식을 이용하여 넓이 \(S\)를 \(r\)과 \(l\)로 나타냅니다. \(S = \frac{1}{2}rl\) 공식을 사용하는 것이 편리합니다.
- 넓이를 \(r\)에 대한 함수로 표현: Step 2에서 구한 \(l\)을 넓이 공식에 대입하여 넓이 \(S\)를 반지름 \(r\)에 대한 이차함수로 나타냅니다.
- 이차함수의 최댓값 찾기: 넓이 \(S\)를 나타내는 \(r\)에 대한 이차함수를 표준형(완전제곱꼴)으로 변형하여 최댓값을 가지는 \(r\)의 값을 구합니다. 이때, \(r\)의 가능한 범위(\(r>0\), \(l>0\))를 고려하여 꼭짓점의 \(r\) 값이 범위 내에 있는지 확인합니다.
기본 공식 (반지름 \(r\), 호의 길이 \(l\), 중심각 \(\theta\)):
- 둘레 = \(2r + l\)
- 넓이 \(S = \frac{1}{2}r^2\theta = \frac{1}{2}rl\) (여기서는 \(S = \frac{1}{2}rl\) 사용)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정 및 범위 확인
부채꼴의 반지름 길이를 \(r\)이라고 설정합니다. 길이는 양수이므로 \(r > 0\)입니다.
Step 2: 호의 길이 \(l\)을 \(r\)로 표현
부채꼴의 둘레 길이는 두 반지름과 호의 길이의 합입니다. 둘레 길이가 6이므로,
$$ \text{둘레} = 2r + l = 6 $$
이 식을 호의 길이 \(l\)에 대해 정리합니다.
$$ l = 6 – 2r $$
호의 길이 \(l\)도 양수여야 하므로 \(l > 0\)입니다.
$$ 6 – 2r > 0 $$
$$ 6 > 2r $$
$$ r < 3 $$
따라서 반지름 \(r\)의 가능한 범위는 \(0 < r < 3\) 입니다.
Step 3: 부채꼴 넓이 \(S\)를 \(r\)에 대한 식으로 표현
부채꼴 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}rl\)를 이용합니다. Step 2에서 구한 \(l = 6 – 2r\)을 대입합니다.
$$ S = \frac{1}{2}r(6 – 2r) $$
식을 전개합니다.
$$ S = \frac{1}{2}(6r – 2r^2) $$
$$ S = 3r – r^2 $$
표준형으로 나타내기 위해 \(r\)에 대한 내림차순으로 정리하면,
$$ S(r) = -r^2 + 3r $$
이제 넓이 \(S\)는 반지름 \(r\)에 대한 이차함수가 되었습니다.
Step 4: 이차함수의 최댓값 찾기
넓이 함수 \(S(r) = -r^2 + 3r\)의 최댓값을 찾기 위해 표준형(완전제곱꼴)으로 변형합니다.
$$ S(r) = -(r^2 – 3r) $$
괄호 안을 완전제곱식으로 만들기 위해 \((\frac{-3}{2})^2 = \frac{9}{4}\)를 더하고 빼줍니다.
$$ S(r) = -\left(r^2 – 3r + \frac{9}{4} – \frac{9}{4}\right) $$
$$ S(r) = -\left\{\left(r – \frac{3}{2}\right)^2 – \frac{9}{4}\right\} $$
괄호를 풀어줍니다.
$$ S(r) = -\left(r – \frac{3}{2}\right)^2 + \frac{9}{4} $$
이 이차함수는 위로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점은 \(\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)\)입니다.
꼭짓점의 \(r\) 좌표인 \(r = \frac{3}{2}\)은 Step 2에서 구한 \(r\)의 범위 \(0 < r < 3\) 내에 포함됩니다.
따라서 넓이 \(S\)는 \(r = \frac{3}{2}\)일 때 최댓값 \(\frac{9}{4}\)를 가집니다.
Step 5: 넓이가 최대일 때의 반지름 결정
Step 4의 결과로부터, 부채꼴의 넓이가 최대가 될 때의 반지름 \(r\)의 값은 \(\frac{3}{2}\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 부채꼴의 둘레와 넓이 공식을 이용하여 주어진 제약 조건(둘레 일정) 하에서 넓이가 최대가 되는 조건을 찾는 이차함수의 최대/최소 활용 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 부채꼴 공식:
- 둘레 = \(2r + l\)
- 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r^2\theta\) (\(\theta\)는 라디안)
- 관계식을 이용한 함수 표현: 주어진 제약 조건(둘레=6)을 이용하여 하나의 변수(\(l\))를 다른 변수(\(r\))로 표현하고, 이를 목표 함수(넓이 \(S\))에 대입하여 하나의 변수(\(r\))에 대한 함수로 만듭니다.
- 이차함수의 최대/최소: 이차함수를 표준형 \(y = a(x-p)^2 + q\)로 변형하면 꼭짓점 \((p, q)\)에서 최댓값 또는 최솟값을 가집니다. (\(a>0\)이면 최솟값, \(a<0\)이면 최댓값)
- 제한된 범위에서의 최대/최소: 이차함수의 정의역(여기서는 \(r\)의 범위 \(0 < r < 3\))이 제한된 경우, 꼭짓점의 \(x\)좌표가 범위 내에 있는지 확인해야 합니다. 범위 내에 있다면 꼭짓점에서 최대/최소를 가지고, 없다면 범위의 양 끝값에서 최대/최소를 가집니다. 이 문제에서는 꼭짓점의 \(r\) 값이 범위 내에 있었습니다.
- 산술-기하 평균 부등식 활용 (별해): 넓이 \(S = 3r – r^2 = r(3-r)\)로도 볼 수 있지만, 합이 일정한 형태가 아니므로 직접 적용은 어렵습니다. 다만, \(S = \frac{1}{2}rl\)이고 \(2r + l = 6\)일 때, \(2r > 0, l > 0\)이므로 산술-기하 평균 부등식 \(\frac{2r + l}{2} \ge \sqrt{2rl}\)을 적용하면 \(3 \ge \sqrt{2rl}\), 즉 \(9 \ge 2rl\) 이므로 \(rl \le \frac{9}{2}\)가 됩니다. 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl \le \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} = \frac{9}{4}\) 이므로 최댓값은 \(\frac{9}{4}\)입니다. 등호 성립 조건은 \(2r = l\)일 때이므로, \(2r + 2r = 6 \Rightarrow 4r = 6 \Rightarrow r = \frac{3}{2}\)입니다.
둘레가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 부채꼴 문제는 이차함수의 최대/최소 또는 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 해결할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
① \(\frac{3}{2}\)