부채꼴 넓이 최대 조건 및 중심각 계산 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 둘레의 길이가 16으로 일정한 부채꼴 중에서 넓이가 최대가 되는 경우의 중심각 크기를 구하는 문제입니다. 이전 문제와 유사하게, 부채꼴의 반지름과 호의 길이, 넓이, 중심각 사이의 관계를 이용하여 넓이를 반지름에 대한 이차함수로 나타내고, 넓이가 최대일 때의 반지름과 호의 길이를 구한 후 중심각을 계산하는 전략을 사용합니다.
- 미지수 설정: 부채꼴의 반지름 길이를 미지수 \(r\)로 설정합니다. (반지름 길이는 양수이므로 \(r > 0\))
- 호의 길이 표현: 부채꼴의 둘레 길이가 16임을 이용하여 호의 길이 \(l\)을 반지름 \(r\)에 대한 식으로 나타냅니다. (\(\text{둘레} = 2r + l = 16\))
- 넓이 공식 적용 및 \(r\)에 대한 함수 표현: 부채꼴의 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl\) 공식을 이용하여 넓이 \(S\)를 반지름 \(r\)에 대한 이차함수로 나타냅니다.
- 넓이가 최대일 때의 \(r\) 값 찾기: 넓이 \(S\)를 나타내는 \(r\)에 대한 이차함수를 표준형으로 변형하여 최댓값을 가지는 \(r\)의 값을 구합니다. \(r\)의 가능한 범위(\(r>0, l>0\))를 확인합니다.
- 넓이가 최대일 때의 \(l\) 값 계산: Step 4에서 구한 \(r\) 값을 Step 2의 \(l\)에 대한 식에 대입하여 넓이가 최대일 때의 호의 길이 \(l\)을 계산합니다.
- 중심각 계산: 부채꼴의 호의 길이와 중심각 사이의 관계식 \(l = r\theta\) (단, \(\theta\)는 라디안 단위)를 이용하여 넓이가 최대일 때의 중심각 \(\theta\)의 크기를 계산합니다.
기본 공식 (반지름 \(r\), 호의 길이 \(l\), 중심각 \(\theta\)):
- 둘레 = \(2r + l\)
- 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r^2\theta\)
- 호의 길이 \(l = r\theta\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 미지수 설정 및 범위 확인
부채꼴의 반지름 길이를 \(r\)이라고 설정합니다. 길이는 양수이므로 \(r > 0\)입니다.
Step 2: 호의 길이 \(l\)을 \(r\)로 표현
부채꼴의 둘레 길이는 16이므로,
$$ 2r + l = 16 $$
호의 길이 \(l\)에 대해 정리합니다.
$$ l = 16 – 2r $$
호의 길이 \(l\)도 양수여야 하므로 \(l > 0\)입니다.
$$ 16 – 2r > 0 \Rightarrow 16 > 2r \Rightarrow r < 8 $$
따라서 반지름 \(r\)의 가능한 범위는 \(0 < r < 8\) 입니다.
Step 3: 부채꼴 넓이 \(S\)를 \(r\)에 대한 식으로 표현
부채꼴 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}rl\)를 이용하고, \(l = 16 – 2r\)을 대입합니다.
$$ S = \frac{1}{2}r(16 – 2r) $$
식을 전개하고 \(r\)에 대한 내림차순으로 정리합니다.
$$ S(r) = \frac{1}{2}(16r – 2r^2) = 8r – r^2 = -r^2 + 8r $$
Step 4: 넓이가 최대일 때의 \(r\) 값 찾기
넓이 함수 \(S(r) = -r^2 + 8r\)을 표준형으로 변형합니다.
$$ S(r) = -(r^2 – 8r) $$
괄호 안을 완전제곱식으로 만들기 위해 \((\frac{-8}{2})^2 = (-4)^2 = 16\)을 더하고 빼줍니다.
$$ S(r) = -(r^2 – 8r + 16 – 16) $$
$$ S(r) = -\{(r – 4)^2 – 16\} $$
$$ S(r) = -(r – 4)^2 + 16 $$
이 이차함수는 위로 볼록하며, 꼭짓점은 \((4, 16)\)입니다.
꼭짓점의 \(r\) 좌표인 \(r = 4\)는 Step 2에서 구한 \(r\)의 범위 \(0 < r < 8\) 내에 포함됩니다.
따라서 넓이 \(S\)는 \(r = 4\)일 때 최댓값 16을 가집니다.
Step 5: 넓이가 최대일 때의 호의 길이 \(l\) 계산
넓이가 최대가 되는 반지름은 \(r = 4\)입니다. 이 값을 Step 2의 식 \(l = 16 – 2r\)에 대입하여 호의 길이 \(l\)을 구합니다.
$$ l = 16 – 2(4) = 16 – 8 = 8 $$
따라서 넓이가 최대일 때의 호의 길이는 8입니다.
Step 6: 중심각 크기 \(\theta\) 계산
부채꼴의 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 이용하여 중심각 \(\theta\) (라디안)를 구합니다.
넓이가 최대일 때의 \(r = 4\)와 \(l = 8\)을 대입합니다.
$$ 8 = 4 \times \theta $$
양변을 4로 나누어 \(\theta\)를 구합니다.
$$ \theta = \frac{8}{4} = 2 $$
따라서 넓이가 최대일 때의 중심각의 크기는 2 라디안입니다.
둘레가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 부채꼴의 중심각은 항상 2 라디안(\(\approx 114.6^\circ\))입니다. 이는 \(l=2r\)일 때 넓이가 최대가 되기 때문이며, \(l=r\theta\)에서 \(2r=r\theta \Rightarrow \theta=2\) 가 성립합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 이전 문제와 동일하게 부채꼴의 둘레와 넓이 공식 및 이차함수의 최대/최소를 활용하며, 최종적으로 중심각의 크기를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 부채꼴 공식 활용: 둘레(\(2r+l\)), 넓이(\(S=\frac{1}{2}rl\)), 호의 길이(\(l=r\theta\)) 공식을 유기적으로 사용합니다.
- 이차함수 최대/최소: 둘레가 일정하다는 제약 조건을 이용하여 넓이를 반지름 \(r\)에 대한 이차함수로 표현하고, 표준형으로 변환하여 최댓값을 가지는 \(r\) 값을 찾습니다. 이때 \(r\)의 유효한 범위(\(0 < r < (\text{둘레}/2)\))를 확인합니다.
- 중심각 계산: 넓이가 최대가 되는 \(r\)과 그에 해당하는 \(l\) 값을 구한 후, \(l=r\theta\) 공식을 이용하여 중심각 \(\theta\)를 계산합니다. 이때 \(\theta\)는 라디안 단위입니다.
- 일반적인 결과: 둘레 길이가 \(L\)로 일정할 때, 넓이가 최대가 되는 부채꼴은 항상 \(l=2r\) 관계를 만족하며, 이때 \(2r+l = 2r+2r = 4r = L\)이므로 \(r = L/4\)이고 \(l = L/2\)입니다. 중심각 \(\theta = l/r = (L/2) / (L/4) = 2\) 라디안이 됩니다. 이 문제에서는 \(L=16\)이므로 \(r=16/4=4\), \(l=16/2=8\), \(\theta=2\)가 됩니다.
이차함수의 최대/최소 또는 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 넓이가 최대일 때의 반지름과 호의 길이 관계(\(l=2r\))를 유도하고, 이를 통해 중심각이 항상 2 라디안임을 알 수 있습니다.
✅ 최종 정답
⑤ 2