원뿔 겉넓이 계산 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 밑면 반지름의 길이와 모선의 길이가 주어진 원뿔의 겉넓이를 계산하는 문제입니다. 원뿔의 겉넓이는 밑면인 원의 넓이와 옆면인 부채꼴의 넓이의 합으로 구성됩니다.
- 주어진 정보 확인: 밑면 원의 반지름 \(r=4\)이고, 모선의 길이 \(R=9\)임을 확인합니다. (주의: 원뿔의 높이와 모선의 길이는 다릅니다.)
- 밑넓이 계산: 밑면인 원의 넓이를 계산합니다. (원 넓이 = \(\pi r^2\))
- 옆넓이 계산 (부채꼴 넓이): 원뿔의 옆면은 펼치면 부채꼴 모양이 됩니다. 이 부채꼴의 넓이를 계산하는 방법은 두 가지가 있습니다.
- 방법 1 (해설 방식): 부채꼴의 호의 길이는 밑면 원의 둘레 길이와 같습니다. 부채꼴의 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2} R l\) (여기서 \(R\)은 부채꼴의 반지름=모선의 길이, \(l\)은 호의 길이)을 이용합니다.
- 방법 2: 부채꼴의 중심각 \(\theta\)를 구한 후, 부채꼴 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2} R^2 \theta\)를 이용합니다. 중심각은 \(l = R\theta\) 관계를 이용해 구할 수 있습니다.
- 겉넓이 계산: 밑넓이와 옆넓이를 더하여 원뿔의 겉넓이를 구합니다.
- \(a\) 값 결정: 계산된 겉넓이를 \(a\pi\)와 비교하여 \(a\)의 값을 찾습니다.
기본 공식:
밑면 반지름 \(r\), 모선 길이 \(R\), 높이 \(h\)인 원뿔:
- 밑면 원의 넓이 = \(\pi r^2\)
- 밑면 원의 둘레 = \(2\pi r\)
- 옆면 (부채꼴): 반지름 = \(R\), 호의 길이 \(l = 2\pi r\)
- 옆면 넓이 = \(\frac{1}{2} R l = \frac{1}{2} R (2\pi r) = \pi R r\)
- 원뿔 겉넓이 = (밑넓이) + (옆넓이) = \(\pi r^2 + \pi R r\)
- \(R^2 = r^2 + h^2\) (피타고라스 정리)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 정보 확인
밑면 원의 반지름 \(r = 4\)
모선의 길이 \(R = 9\)
구하고자 하는 값: 원뿔의 겉넓이 \(S = a\pi\)일 때, \(a\)의 값.
Step 2: 밑넓이 계산
밑면은 반지름이 4인 원입니다. 원의 넓이 공식을 이용합니다.
$$ \text{밑넓이} = \pi r^2 = \pi (4)^2 = 16\pi $$
Step 3: 옆넓이 계산 (부채꼴 넓이)
원뿔의 옆면을 펼치면 부채꼴이 됩니다. 이 부채꼴의 정보는 다음과 같습니다.
- 부채꼴의 반지름 = 원뿔의 모선의 길이 = \(R = 9\)
- 부채꼴의 호의 길이 = 밑면 원의 둘레 길이 = \(l = 2\pi r = 2\pi (4) = 8\pi\)
부채꼴의 넓이 공식 \(S_{\text{옆}} = \frac{1}{2} R l\)를 이용합니다.
$$ \text{옆넓이} = \frac{1}{2} \times (\text{부채꼴 반지름}) \times (\text{호의 길이}) $$
$$ = \frac{1}{2} \times 9 \times 8\pi $$
$$ = 36\pi $$
(별해: 옆넓이 공식 \(S_{\text{옆}} = \pi R r\)을 바로 사용하면 \(S_{\text{옆}} = \pi (9)(4) = 36\pi\) 로 더 간단하게 구할 수 있습니다.)
Step 4: 원뿔의 겉넓이 계산
원뿔의 겉넓이는 밑넓이와 옆넓이의 합입니다.
$$ \text{원뿔 겉넓이} = (\text{밑넓이}) + (\text{옆넓이}) $$
$$ = 16\pi + 36\pi $$
$$ = (16 + 36)\pi = 52\pi $$
Step 5: \(a\) 값 결정
문제에서 원뿔의 겉넓이를 \(a\pi\)라고 했습니다. Step 4에서 계산한 겉넓이 \(52\pi\)와 비교합니다.
$$ a\pi = 52\pi $$
따라서 \(a = 52\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원뿔의 겉넓이를 구하는 기본적인 문제입니다. 원뿔의 전개도를 생각하여 밑면(원)과 옆면(부채꼴)으로 나누어 각 부분의 넓이를 계산한 후 합하는 과정이 필요합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원뿔의 구성 요소: 밑면 반지름(\(r\)), 모선 길이(\(R\)), 높이(\(h\))의 정의를 이해해야 합니다.
- 원뿔의 전개도: 원뿔을 펼치면 밑면인 원과 옆면인 부채꼴로 구성됩니다.
- 옆면 부채꼴의 성질:
- 부채꼴의 반지름 = 원뿔의 모선 길이 (\(R\))
- 부채꼴의 호의 길이 = 밑면 원의 둘레 (\(2\pi r\))
- 넓이 공식:
- 원 넓이 = \(\pi r^2\)
- 부채꼴 넓이 = \(\frac{1}{2} \times (\text{반지름}) \times (\text{호의 길이})\) = \(\frac{1}{2} R (2\pi r) = \pi R r\)
- 원뿔 겉넓이: \((\text{겉넓이}) = (\text{밑넓이}) + (\text{옆넓이}) = \pi r^2 + \pi R r\)
원뿔의 겉넓이 공식 \(\pi r^2 + \pi R r\)을 직접 암기하여 사용하는 것이 계산을 더 빠르게 할 수 있습니다.
✅ 최종 정답
\(a = 52\)