원뿔 전개도와 밑면 둘레 계산 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같이 원뿔의 전개도에서 \(\overline{OA} = 12\), \(\overline{AB} = 12\sqrt{3}\))
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 원뿔의 전개도(옆면인 부채꼴과 밑면인 원)에서 부채꼴의 반지름(\(\overline{OA}\))과 현(\(\overline{AB}\))의 길이가 주어졌을 때, 원뿔의 밑면인 원(\(O’\))의 둘레 길이를 구하는 문제입니다. 밑면 원의 둘레는 부채꼴의 호의 길이와 같다는 점을 이용합니다.
- 부채꼴 정보 파악: 전개도의 부채꼴에서 반지름 \(R = \overline{OA} = 12\)임을 확인합니다.
- 중심각 계산: 부채꼴의 중심각 \(\angle AOB\)를 구해야 합니다. 주어진 현의 길이 \(\overline{AB}\)를 이용하여 이등변삼각형 OAB의 성질과 삼각비를 활용하여 중심각을 계산합니다.
- 점 O에서 현 AB에 수선의 발 H를 내리면, \(\triangle OAH\)는 직각삼각형이 되고, \(\overline{AH} = \frac{1}{2}\overline{AB}\)입니다.
- 직각삼각형 OAH에서 \(\sin(\angle AOH)\) 값을 구하고, 이를 통해 \(\angle AOH\)를 찾습니다.
- 중심각 \(\angle AOB = 2 \times \angle AOH\)입니다. (단위는 라디안으로 구하는 것이 좋습니다.)
- 호의 길이 계산: 부채꼴의 호의 길이 공식 \(l = R\theta\)를 이용하여 호 AB의 길이를 계산합니다.
- 밑면 원의 둘레 결정: 원뿔에서 밑면 원의 둘레 길이는 옆면 부채꼴의 호의 길이와 같으므로, Step 3에서 계산한 호의 길이가 답이 됩니다.
기본 공식:
- 부채꼴 호의 길이 \(l = R\theta\) (\(R\)은 반지름, \(\theta\)는 중심각(라디안))
- 원의 둘레 \(C = 2\pi r\) (\(r\)은 반지름)
- 삼각비: \(\sin A = \frac{\text{대변}}{\text{빗변}}\), \(\cos A = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}\), \(\tan A = \frac{\text{대변}}{\text{밑변}}\)
- 특수각의 삼각비 값 (예: \(\sin 60^\circ = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\))
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 부채꼴 정보 및 현의 길이 확인
원뿔의 옆면인 부채꼴의 정보는 다음과 같습니다.
- 반지름 \(R = \overline{OA} = \overline{OB} = 12\)
- 현의 길이 \(\overline{AB} = 12\sqrt{3}\)
우리가 구해야 하는 것은 밑면 원의 둘레 길이 = 부채꼴의 호 AB의 길이 \(l\) 입니다.
Step 2: 부채꼴의 중심각 \(\angle AOB\) 계산
삼각형 OAB는 \(\overline{OA} = \overline{OB} = 12\)인 이등변삼각형입니다.
점 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라고 하면, H는 선분 AB를 이등분합니다.
$$ \overline{AH} = \overline{BH} = \frac{1}{2} \overline{AB} = \frac{1}{2} (12\sqrt{3}) = 6\sqrt{3} $$
직각삼각형 OAH에서 \(\angle AOH = \theta’\)라고 합시다. 삼각비 \(\sin\) 값을 이용합니다.
$$ \sin(\theta’) = \sin(\angle AOH) = \frac{\overline{AH}}{\overline{OA}} = \frac{6\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
\(\sin\) 값이 \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)이 되는 각은 \(60^\circ\) 또는 \(\frac{\pi}{3}\) 라디안입니다. (삼각형 내각이므로 \(0 < \theta' < \pi\))
따라서 \(\angle AOH = \theta’ = \frac{\pi}{3}\) 라디안입니다.
부채꼴의 중심각 \(\angle AOB\)는 \(\angle AOH\)의 2배입니다.
$$ \theta = \angle AOB = 2 \times \angle AOH = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} \text{ 라디안} $$
Step 3: 부채꼴의 호의 길이 \(l\) 계산
호의 길이 공식 \(l = R\theta\)를 이용합니다. 부채꼴의 반지름 \(R = 12\)이고 중심각 \(\theta = \frac{2\pi}{3}\)입니다.
$$ l = 12 \times \frac{2\pi}{3} $$
$$ = 4 \times 2\pi = 8\pi $$
따라서 부채꼴의 호 AB의 길이는 \(8\pi\)입니다.
Step 4: 밑면 원의 둘레 결정
원뿔에서 밑면인 원의 둘레 길이는 옆면인 부채꼴의 호의 길이와 같습니다.
$$ \text{밑면 원의 둘레} = (\text{부채꼴 호 AB의 길이}) = l = 8\pi $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원뿔의 전개도의 성질과 부채꼴의 호의 길이 공식, 그리고 삼각비를 활용하여 원뿔 밑면의 둘레를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원뿔 전개도와 구성 요소 간의 관계:
- 원뿔의 옆면을 펼치면 부채꼴이 됩니다.
- 원뿔의 모선 길이 = 부채꼴의 반지름 길이 (\(R\))
- 원뿔 밑면 원의 둘레 = 부채꼴의 호의 길이 (\(l\))
- 부채꼴의 호의 길이: 반지름 \(R\), 중심각 \(\theta\) (라디안)일 때, 호의 길이 \(l = R\theta\).
- 이등변삼각형과 수선: 이등변삼각형의 꼭지각에서 밑변에 내린 수선은 밑변을 수직 이등분합니다.
- 삼각비 활용: 직각삼각형에서 변의 길이를 알 때 각의 크기를 구하거나, 각과 한 변의 길이를 알 때 다른 변의 길이를 구하는 데 사용됩니다. 특히 특수각(\(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ\))의 삼각비 값은 중요합니다.
- 라디안 단위: 호의 길이 공식 \(l=R\theta\)와 부채꼴 넓이 공식 \(S=\frac{1}{2}R^2\theta\)에서 중심각 \(\theta\)는 반드시 라디안(radian) 단위를 사용해야 합니다. 180° = \(\pi\) 라디안 관계를 이용합니다.
전개도에서 주어진 정보(모선 길이, 현의 길이)를 이용하여 부채꼴의 중심각을 구하고, 이를 통해 호의 길이를 계산하여 밑면 원의 둘레를 구하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
③ \(8\pi\)