삼각형 사인 법칙 활용 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같은 삼각형 ABC에서 \(\overline{AB} = 6\), \(\overline{AC} = 7\))
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 삼각형의 두 변의 길이가 주어졌을 때, 그 변들과 마주 보는 각의 사인 값의 비율(\(\frac{\sin B}{\sin C}\))을 구하는 문제입니다. 이 문제는 삼각형의 사인 법칙을 직접 이용하는 것이 가장 효율적입니다.
- 사인 법칙(Sine Rule) 상기: 삼각형의 각과 마주 보는 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 사인 법칙을 떠올립니다.
- 주어진 변과 각의 대응 관계 파악: 주어진 변 \(\overline{AB}\)는 각 C와 마주 보고, 변 \(\overline{AC}\)는 각 B와 마주 봅니다.
- 사인 법칙 적용: 사인 법칙에서 각 B, C와 마주 보는 변 \(\overline{AC}\), \(\overline{AB}\)에 해당하는 부분을 이용하여 비례식을 세웁니다.
- 비율 계산: 세워진 비례식을 정리하여 문제에서 요구하는 \(\frac{\sin B}{\sin C}\)의 값을 구합니다.
해설 이미지에서는 꼭짓점 A에서 수선의 발을 내려 직각삼각형을 만들어 해결했지만, 사인 법칙을 사용하면 더 직접적으로 풀 수 있습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 사인 법칙(Sine Rule) 확인
삼각형 ABC에서 각 A, B, C와 마주 보는 변의 길이를 각각 \(a, b, c\)라고 할 때, 사인 법칙은 다음과 같습니다.
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R $$
(여기서 R은 삼각형 ABC의 외접원의 반지름입니다. 이 문제에서는 R 값은 필요하지 않습니다.)
Step 2: 문제의 변과 각 대응 관계 파악
문제에서 주어진 변의 길이는 다음과 같습니다.
- \(\overline{AB} = 6\). 이 변은 각 C와 마주 보므로, 사인 법칙의 \(c\)에 해당합니다. 즉, \(c = 6\).
- \(\overline{AC} = 7\). 이 변은 각 B와 마주 보므로, 사인 법칙의 \(b\)에 해당합니다. 즉, \(b = 7\).
우리가 구해야 하는 값은 \(\frac{\sin B}{\sin C}\) 입니다.
Step 3: 사인 법칙 적용
사인 법칙에서 각 B, C와 관련된 부분만 가져옵니다.
$$ \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
Step 2에서 파악한 값을 대입합니다.
$$ \frac{7}{\sin B} = \frac{6}{\sin C} $$
Step 4: \(\frac{\sin B}{\sin C}\) 비율 계산
Step 3에서 얻은 등식 \(\frac{7}{\sin B} = \frac{6}{\sin C}\)을 변형하여 \(\frac{\sin B}{\sin C}\)를 구합니다.
양변에 \(\sin B\)와 \(\sin C\)를 적절히 곱하여 정리할 수 있습니다. 또는 대각선으로 곱하는 방식을 생각해도 됩니다.
$$ 7 \sin C = 6 \sin B $$
이제 양변을 \(6 \sin C\)로 나누어 (또는 양변을 6으로 나누고, \(\sin C\)로 나누어) 원하는 형태를 만듭니다.
$$ \frac{7 \sin C}{6 \sin C} = \frac{6 \sin B}{6 \sin C} $$
$$ \frac{7}{6} = \frac{\sin B}{\sin C} $$
따라서 구하고자 하는 값은 \(\frac{7}{6}\)입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각형의 사인 법칙(Sine Rule)의 기본적인 적용을 묻는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 사인 법칙: 임의의 삼각형에서 각의 사인 값과 마주 보는 변의 길이의 비율은 항상 일정하며, 그 값은 외접원의 지름(\(2R\))과 같습니다.
$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$
- 변과 각의 대응 관계: 삼각형의 변 \(a, b, c\)는 각각 각 \(A, B, C\)와 마주 보고 있습니다. 문제에서 주어진 변의 길이가 어떤 각과 마주 보는지 정확히 파악해야 합니다.
- 비례식 변형: 사인 법칙으로 세워진 비례식을 문제에서 요구하는 비율 형태로 정확하게 변형하는 대수적 능력이 필요합니다.
사인 법칙은 삼각형의 변과 각 사이의 관계를 나타내는 중요한 도구로, 두 변과 그 끼인각이 아닌 다른 각, 또는 두 각과 한 변이 주어졌을 때 나머지 요소들을 구하는 데 유용하게 사용됩니다. 이 문제처럼 변의 길이 비와 사인 값의 비를 연결하는 데도 직접적으로 사용될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
② \(\frac{7}{6}\)