동경과 삼각함수 값 계산 문제 풀이
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 원점 O와 제3사분면에 있는 점 P의 좌표 일부(\(x\)좌표)와, OP를 동경으로 하는 각 \(\theta\)에 대한 \(\tan \theta\) 값이 주어졌을 때, 점 P의 \(y\)좌표(\(a\))와 원점으로부터의 거리(\(r = \overline{OP}\))를 구하여 \(ar\)의 값을 계산하는 문제입니다.
- 삼각함수의 정의 활용: 원점과 점 P\((x, y)\)를 잇는 선분 OP를 동경으로 하는 각 \(\theta\)에 대한 삼각함수는 다음과 같이 정의됩니다.
$$ \sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} $$
(여기서 \(r = \overline{OP} = \sqrt{x^2 + y^2}\)는 원점으로부터 점 P까지의 거리입니다.) - 점 P의 좌표 및 \(a\) 값 계산: 주어진 점 P의 좌표와 \(\tan \theta\) 값을 삼각함수의 정의 \(\tan\theta = \frac{y}{x}\)에 대입하여 \(y\)좌표인 \(a\)의 값을 구합니다. 이때, 점 P가 제3사분면에 있다는 조건을 이용하여 \(a\)의 부호를 확인합니다.
- 거리 \(r\) 계산: 점 P의 좌표 (\(x, a\))를 구한 후, 원점 (0, 0)과의 거리 공식 \(r = \sqrt{x^2 + a^2}\)을 이용하여 \(r\) 값을 계산합니다.
- \(ar\) 값 계산: 구한 \(a\)와 \(r\) 값을 곱하여 최종 답을 구합니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 주어진 정보 및 삼각함수 정의 적용
원점 O와 제3사분면 위의 점 \(P(-2\sqrt{2}, a)\)가 주어졌습니다.
점 P의 좌표에서 \(x = -2\sqrt{2}\), \(y = a\)입니다.
OP를 동경으로 하는 각 \(\theta\)에 대해 \(\tan\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}\)라고 주어졌습니다.
삼각함수의 정의에 따라 \(\tan\theta = \frac{y}{x}\)이므로,
$$ \tan\theta = \frac{a}{-2\sqrt{2}} $$
Step 2: \(a\) 값 계산
Step 1에서 얻은 식과 주어진 \(\tan\theta\) 값을 같다고 놓습니다.
$$ \frac{a}{-2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
양변에 \(-2\sqrt{2}\)를 곱하여 \(a\)를 구합니다.
$$ a = \frac{\sqrt{2}}{2} \times (-2\sqrt{2}) $$
$$ a = -\frac{2 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2})}{2} $$
$$ a = -\frac{2 \times 2}{2} = -2 $$
점 P는 제3사분면에 있으므로 \(x\)좌표와 \(y\)좌표 모두 음수여야 합니다. \(x = -2\sqrt{2}\) (음수)이고 계산된 \(a = -2\) (음수)이므로 제3사분면 조건과 일치합니다.
따라서 점 P의 좌표는 \(P(-2\sqrt{2}, -2)\)입니다.
Step 3: 거리 \(r\) 계산
\(r = \overline{OP}\)는 원점 (0, 0)과 점 \(P(-2\sqrt{2}, -2)\) 사이의 거리입니다.
거리 공식 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)을 이용합니다.
$$ r = \sqrt{(-2\sqrt{2})^2 + (-2)^2} $$
\((-2\sqrt{2})^2 = (-2)^2 \times (\sqrt{2})^2 = 4 \times 2 = 8\) 이고, \((-2)^2 = 4\) 이므로,
$$ r = \sqrt{8 + 4} = \sqrt{12} $$
\(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\) 입니다.
$$ r = 2\sqrt{3} $$
Step 4: \(ar\) 값 계산
문제에서 구하고자 하는 값은 \(ar\)입니다. Step 2에서 \(a = -2\), Step 3에서 \(r = 2\sqrt{3}\)을 구했으므로 이를 곱합니다.
$$ ar = (-2) \times (2\sqrt{3}) $$
$$ ar = -4\sqrt{3} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 좌표평면 위의 점과 동경, 그리고 삼각함수의 정의를 이용하여 점의 좌표와 원점 사이의 거리를 계산하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 동경과 일반각: 좌표평면에서 시초선(양의 x축)과 원점 O와 점 P(x, y)를 잇는 선분 OP가 이루는 각을 \(\theta\)라고 할 때, OP를 각 \(\theta\)의 동경이라고 합니다.
- 삼각함수의 정의 (좌표 이용): 점 P(x, y)와 원점 O 사이의 거리 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)에 대하여,
$$ \sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0) $$
- 사분면과 삼각함수의 부호: 점 P가 위치하는 사분면에 따라 \(x, y\) 좌표의 부호가 결정되고, 이는 삼각함수 값의 부호에 영향을 줍니다.
- 제1사분면: 모두 양수 (+)
- 제2사분면: \(\sin\)만 양수 (+)
- 제3사분면: \(\tan\)만 양수 (+)
- 제4사분면: \(\cos\)만 양수 (+)
- 두 점 사이의 거리 공식: 원점 (0, 0)과 점 (x, y) 사이의 거리는 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)입니다.
삼각함수의 정의를 정확히 이해하고, 주어진 점의 좌표와 삼각함수 값을 이용하여 미지의 좌표 성분을 구한 후, 거리 공식을 통해 원점과의 거리를 계산하는 과정이 필요합니다.
✅ 최종 정답
② \(-4\sqrt{3}\)