원에 내접하는 직사각형과 삼각함수 문제 풀이
(오른쪽 그림과 같이 가로와 세로의 길이가 각각 4, \(2\sqrt{2}\)인 직사각형 ABCD가 원 \(x^2+y^2=6\)에 내접하고 있다. 두 동경 OA, OC가 나타내는 각의 크기를 각각 \(\alpha, \beta\)라 할 때, \(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta\)의 값은?)
(단, O는 원점이고, 직사각형의 각 변은 좌표축과 평행하다.)
📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 원에 내접하고 축에 평행한 직사각형의 꼭짓점 좌표를 구하고, 이를 이용하여 각 꼭짓점과 원점을 잇는 동경이 나타내는 각에 대한 삼각함수 값을 계산하는 문제입니다. 최종적으로 삼각함수의 덧셈정리(사인의 덧셈정리)를 이용하여 식의 값을 구합니다.
- 원과 직사각형 정보 분석: 원의 방정식 \(x^2+y^2=6\)으로부터 원의 반지름 \(r = \sqrt{6}\)임을 파악합니다. 직사각형의 가로가 4, 세로가 \(2\sqrt{2}\)이고 각 변이 축에 평행하다는 정보를 이용합니다.
- 꼭짓점 A, C의 좌표 구하기: 직사각형의 각 변이 축에 평행하고 원점에 대해 대칭인 형태이므로, 가로와 세로 길이의 절반을 이용하여 꼭짓점 A와 C의 좌표를 구합니다. (A는 제2사분면, C는 제4사분면)
- 동경 OA, OC의 삼각함수 값 계산: 삼각함수의 정의(\(\sin\theta = y/r, \cos\theta = x/r\))를 이용하여 \(\sin\alpha, \cos\alpha\)와 \(\sin\beta, \cos\beta\)의 값을 구합니다. 여기서 \(r = \overline{OA} = \overline{OC} = \sqrt{6}\)입니다.
- 삼각함수의 덧셈정리 적용: 구하고자 하는 식 \(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta\)가 사인의 덧셈정리 \(\sin(\alpha + \beta)\)의 형태임을 인지하고, Step 3에서 구한 값들을 대입하여 계산합니다. (또는 직접 대입하여 계산해도 됩니다.)
기본 공식:
점 P(x, y)와 원점 O 사이의 거리 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)일 때,
- \(\sin\theta = y/r\)
- \(\cos\theta = x/r\)
삼각함수의 덧셈정리:
- \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 원과 직사각형 정보 분석
원의 방정식은 \(x^2 + y^2 = 6\)이므로, 중심은 원점 O(0, 0)이고 반지름 \(r = \sqrt{6}\)입니다.
직사각형 ABCD의 가로 길이는 \(\overline{AD} = \overline{BC} = 4\)이고, 세로 길이는 \(\overline{AB} = \overline{CD} = 2\sqrt{2}\)입니다.
직사각형의 변은 좌표축과 평행합니다.
Step 2: 꼭짓점 A, C의 좌표 구하기
직사각형 ABCD는 원에 내접하고 변이 축과 평행하므로, 원점 대칭인 형태입니다.
가로 길이가 4이므로 \(x\)좌표의 절댓값은 \(4/2 = 2\)입니다.
세로 길이가 \(2\sqrt{2}\)이므로 \(y\)좌표의 절댓값은 \(2\sqrt{2}/2 = \sqrt{2}\)입니다.
점 A는 제2사분면에 있으므로 \(x\)좌표는 음수, \(y\)좌표는 양수입니다.
$$ A = (-2, \sqrt{2}) $$
점 C는 제4사분면에 있으므로 \(x\)좌표는 양수, \(y\)좌표는 음수입니다. (또는 점 A와 원점 대칭이므로)
$$ C = (2, -\sqrt{2}) $$
Step 3: 동경 OA, OC에 대한 삼각함수 값 계산
동경 OA가 나타내는 각이 \(\alpha\)입니다. 점 A\((-2, \sqrt{2})\)와 원점 사이의 거리 \(r = \overline{OA} = \sqrt{6}\) (원의 반지름)입니다.
삼각함수의 정의에 따라:
$$ \sin\alpha = \frac{y}{r} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{6}} = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$
$$ \cos\alpha = \frac{x}{r} = \frac{-2}{\sqrt{6}} = -\frac{2\sqrt{6}}{6} = -\frac{\sqrt{6}}{3} $$
동경 OC가 나타내는 각이 \(\beta\)입니다. 점 C\((2, -\sqrt{2})\)와 원점 사이의 거리 \(r = \overline{OC} = \sqrt{6}\)입니다.
삼각함수의 정의에 따라:
$$ \sin\beta = \frac{y}{r} = \frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = -\sqrt{\frac{1}{3}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$
$$ \cos\beta = \frac{x}{r} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} $$
해설 이미지의 값들과 약간의 차이가 있어, 해설 이미지 값 기준으로 아래 계산을 진행하겠습니다. 해설 기준: \(\cos\alpha = -2/\sqrt{6}\), \(\sin\alpha = \sqrt{2}/\sqrt{6} = 1/\sqrt{3}\), \(\cos\beta = 2/\sqrt{6}\), \(\sin\beta = -\sqrt{2}/\sqrt{6} = -1/\sqrt{3}\)
Step 4: \(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta\) 값 계산
구하고자 하는 식은 \(\cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta\) 입니다.
이 식은 사인의 덧셈정리 \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)의 우변과 순서만 다를 뿐 동일합니다.
Step 3에서 구한 값들을 대입하여 계산합니다 (해설 이미지 기준 값 사용).
$$ \cos\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta = \left(-\frac{2}{\sqrt{6}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{6}}\right) $$
각 항을 계산합니다.
$$ = \frac{2}{\sqrt{18}} + \frac{2}{\sqrt{18}} $$
\(\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}\) 이므로,
$$ = \frac{2}{3\sqrt{2}} + \frac{2}{3\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} $$
분모를 유리화합니다.
$$ = \frac{4 \times \sqrt{2}}{3\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \times 2} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원의 방정식, 좌표평면 위의 점과 동경, 삼각함수의 정의, 그리고 삼각함수의 덧셈정리를 복합적으로 활용하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원의 방정식: \(x^2 + y^2 = r^2\)은 중심이 원점이고 반지름이 \(r\)인 원을 나타냅니다.
- 좌표 설정: 도형이 축에 평행하고 원점 대칭인 경우, 도형의 크기 정보를 이용하여 꼭짓점의 좌표를 쉽게 설정할 수 있습니다.
- 삼각함수의 정의 (좌표 이용): 점 P(x, y)와 원점 거리 \(r\)에 대해 \(\sin\theta = y/r, \cos\theta = x/r\). 이 정의를 이용하여 특정 동경에 대한 삼각함수 값을 계산합니다.
- 삼각함수의 덧셈정리:
- \(\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta\)
- \(\sin(\alpha – \beta) = \sin\alpha\cos\beta – \cos\alpha\sin\beta\)
- \(\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta – \sin\alpha\sin\beta\)
- \(\cos(\alpha – \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta\)
- 분모의 유리화: 계산 결과의 분모에 제곱근이 포함된 경우, 유리화하여 간단히 정리합니다.
원의 방정식과 도형의 성질을 이용하여 좌표를 설정하고, 삼각함수의 정의에 따라 값을 구한 후, 덧셈정리를 활용하여 최종 식의 값을 계산하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
② \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)