📌 문제 정확히 이해하기
다음과 같은 두 집합이 주어졌습니다.
\[ A = \{5, 6, 7\}, \quad B = \{-3, -2, 2, 3, 4, 5\} \]집합 \( C \)가 다음과 같이 정의되었습니다.
\[ C = \{x \mid x^a = b,\quad x \text{는 실수},\quad a \in A,\quad b \in B \} \]이때 집합 \( C \)의 원소 개수 \( n(C) \)를 구하세요.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] \( a = 5 \)인 경우 분석
방정식은 다음과 같습니다.
\[ x^5 = b \]홀수 제곱근이므로 모든 \( b \)에 대해 실수 \( x \)는 각각 1개씩 존재합니다. 따라서 6개가 존재합니다.
[Step 2] \( a = 6 \)인 경우 분석
방정식은 다음과 같습니다.
\[ x^6 = b \]- 양수(\( b = 2, 3, 4, 5 \)): 각각 양수와 음수의 두 개의 실수해가 존재하므로 총 8개
- 음수(\( b = -3, -2 \)): 짝수 제곱근에서 음수의 실수해는 존재하지 않으므로 0개
[Step 3] \( a = 7 \)인 경우 분석
방정식은 다음과 같습니다.
\[ x^7 = b \]홀수 제곱근이므로 모든 \( b \)에 대해 각각 1개의 실수가 존재합니다. 따라서 6개가 존재합니다.
[Step 4] 최종적으로 \( C \)의 원소 개수 \( n(C) \) 구하기
모든 경우를 정리하면,
- \( a = 5 \): 6개
- \( a = 6 \): 8개
- \( a = 7 \): 6개
모두 더하면,
\[ n(C) = 6 + 8 + 6 = 20 \]🎯 최종 정답 확인하기
최종 정답은 다음과 같습니다.
\[ \boxed{20} \]