📌 문제 이해하기
주어진 등식을 분석하여 유리수 \( a, b \)를 찾고, 이를 이용하여 \( 3a + b \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
[Step 1] 첫 번째 분수식 정리
\[ \left( \frac{1 – 2^{-1} + 2^{-2} – 2^{-3}}{2^3 + 2^2 + 2 + 1} \right)^{-3} \]① 분자 변형
\[ 1 – 2^{-1} + 2^{-2} – 2^{-3} = \frac{8 – 4 + 2 – 1}{8} = \frac{5}{8} \]② 분모 변형
\[ 2^3 + 2^2 + 2 + 1 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 \]따라서, 원래 식은
\[ \frac{\frac{5}{8}}{15} = \frac{5}{120} = \frac{1}{24} \] 이를 지수 형태로 나타내면: \[ 2^{-3} \times 3^{-1} \]이를 -3승 하면:
\[ (2^{-3} \times 3^{-1})^{-3} = 2^{9} \times 3^3 \] 즉, \[ (3 \times 2^3)^3 \][Step 2] 두 번째 루트식 정리
\[ \left( \sqrt[3]{4} – \sqrt[3]{2} + 1 \right)^{-3} \]① 분모 유리화
\[ \sqrt[3]{4} – \sqrt[3]{2} + 1 = \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} – \sqrt[3]{2} + 1} \times \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{\sqrt[3]{2} + 1} \] 이를 정리하면: \[ \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{27} \] 즉, \[ \left( \frac{\sqrt[3]{2} + 1}{27} \right)^{-3} \] 이를 변형하면: \[ (\sqrt[3]{2} + 1)^3 \times 27^{-3} \] 즉, \[ (\sqrt[3]{2} + 1)^3 \times 3^{-9} \][Step 3] 두 결과를 곱하여 정리
\[ (3 \times 2^3)^3 \times (\sqrt[3]{2} + 1)^3 \times 3^{-9} \] \[ = 2^{9} \times 3^3 \times (\sqrt[3]{2} + 1)^3 \times 3^{-9} \] \[ = 2^9 \times (\sqrt[3]{2} + 1)^3 \times 3^{-6} \]이를 주어진 식과 비교하면:
\[ (2^a + 2^b)^3 \]즉, \( 2^a = 2^9 \), \( 2^b = 2^3 \)이므로,
\[ a = 9, \quad b = 3 \] 이제, \[ 3a + b = 3(9) + 3 = 27 + 3 = 13 \]🎯 최종 정답
\[ \boxed{13} \]📝 마무리 정리
- 분수식을 정리하여 \( (3 \times 2^3)^3 \) 형태로 변형.
- 루트식을 유리화하여 \( (\sqrt[3]{2} + 1)^3 \times 3^{-9} \) 형태로 변형.
- 두 결과를 곱하여 \( 2^a + 2^b \)의 형태로 변환.
- \( a = 9, b = 3 \)을 도출한 후, \( 3a + b = 13 \)을 계산.