📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 각 \(θ\)와 \(6θ\)의 동경이 반대 방향으로 일직선상에 있을 때, \(θ\)의 개수를 구하는 문제입니다. 두 동경이 반대 방향에 있다는 것은 두 각의 차이가 \(\pi\)의 홀수 배와 같다는 것을 의미합니다. 이를 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 세우고, 주어진 범위 내에서 해를 구합니다. 동경의 위치 관계, 방정식 풀이, 부등식 활용이 핵심입니다.
- 동경의 위치 관계: 두 동경이 반대 방향으로 일직선상에 있을 조건을 이해합니다.
- 방정식 설정: 두 각의 차이가 \(\pi\)의 홀수 배임을 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 세웁니다.
- 방정식 풀이: 방정식을 풀어 \(θ\)의 일반해를 구합니다.
- 범위 내 해 찾기: 주어진 범위 \(0 < θ < 2\pi\) 내에서 \(θ\)의 값을 구하고, 개수를 세어 답을 찾습니다.
핵심 개념:
두 동경이 반대 방향으로 일직선상에 있을 조건: 두 각의 차이는 \(\pi\)의 홀수 배이다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 동경의 위치 관계 파악
두 동경 \(θ\)와 \(6θ\)가 반대 방향으로 일직선상에 있으므로, 두 각의 차이는 \(\pi\)의 홀수 배입니다. 즉,
$$ 6\theta – \theta = n\pi + \pi \quad (n은 정수) $$
Step 2: \(θ\)에 대한 방정식 풀이
방정식을 풀어서 \(θ\)의 일반해를 구합니다.
$$ 5\theta = (2n+1)\pi $$
$$ \theta = \frac{2n+1}{5}\pi $$
Step 3: 범위 내 해 찾기
주어진 범위 \(0 < θ < 2\pi\) 내에서 \(θ\)의 값을 찾습니다.
$$ 0 < \frac{2n+1}{5}\pi < 2\pi $$
\(\pi\)로 나누고, 5를 곱하면:
$$ 0 < 2n + 1 < 10 $$
1을 빼면:
$$ -1 < 2n < 9 $$
2로 나누면:
$$ -\frac{1}{2} < n < \frac{9}{2} $$
\(n\)은 정수이므로, \(n\)의 값은 0, 1, 2, 3, 4 입니다.
따라서 \(θ\)의 값은 \(\frac{\pi}{5}, \frac{3\pi}{5}, \frac{5\pi}{5}=\pi, \frac{7\pi}{5}, \frac{9\pi}{5}\) 입니다.
따라서 \(θ\)의 개수는 5개입니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각함수의 동경의 위치 관계를 이해하고, 방정식을 풀어 해를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 동경의 위치 관계: 두 동경의 위치 관계에 따른 각의 차이를 정확하게 이해합니다.
- 방정식 설정: 주어진 조건을 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 정확하게 세웁니다.
- 방정식 풀이: 방정식을 풀어서 \(θ\)의 일반해를 구합니다.
- 범위 내 해 찾기: 주어진 범위 내에서 해를 찾고, 해의 개수를 셉니다.
이 문제에서는 두 동경이 반대 방향에 있는 조건을 이용하여 방정식을 세우고, 그 해를 구했습니다. 동경의 위치 관계를 정확하게 이해하고, 부등식을 활용하여 범위 내의 해를 찾는 연습이 중요합니다.
✅ 최종 정답
⑤ 5