📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 \(\tan \theta\)에 대한 식을 이용하여 \(\sin \theta\)의 값을 구하는 문제입니다. 먼저 주어진 식을 풀어 \(\tan \theta\)의 값을 구하고, 이를 이용하여 \(\sin \theta\)의 값을 계산합니다. 주어진 각 \(θ\)의 범위를 이용하여 \(\sin \theta\)의 부호를 결정하는 것이 중요합니다. 삼각함수 관계식, 방정식 풀이, 사분면별 부호 판별이 핵심입니다.
- \(\tan \theta\) 값 구하기: 주어진 식 \(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} = 2 – \sqrt{3}\)을 풀어 \(\tan \theta\)의 값을 구합니다.
- \(\sin^2 \theta\) 값 구하기: \(\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}\) 관계식을 이용하여 \(\sin^2 \theta\)의 값을 구합니다.
- \(\sin \theta\) 값 결정: 주어진 \(θ\)의 범위 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) (제2사분면)를 이용하여 \(\sin \theta\)의 부호를 결정하고 최종 값을 구합니다.
핵심 공식:
\(\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}\)
제2사분면에서 \(\sin \theta > 0\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\tan \theta\) 값 구하기
주어진 식 \(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta} = 2 – \sqrt{3}\)의 양변에 \(1-\tan \theta\)를 곱합니다.
$$ 1+\tan \theta = (2 – \sqrt{3})(1-\tan \theta) $$
우변을 전개합니다.
$$ 1+\tan \theta = 2 – 2\tan \theta – \sqrt{3} + \sqrt{3}\tan \theta $$
\(\tan \theta\) 항을 좌변으로, 상수항을 우변으로 이항합니다.
$$ \tan \theta + 2\tan \theta – \sqrt{3}\tan \theta = 2 – \sqrt{3} – 1 $$
\(\tan \theta\)로 묶습니다.
$$ (1+2-\sqrt{3})\tan \theta = 1 – \sqrt{3} $$
$$ (3-\sqrt{3})\tan \theta = 1 – \sqrt{3} $$
\(\tan \theta\)에 대해 풉니다.
$$ \tan \theta = \frac{1 – \sqrt{3}}{3 – \sqrt{3}} $$
분모를 유리화합니다.
$$ \tan \theta = \frac{1 – \sqrt{3}}{3 – \sqrt{3}} \times \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(1 – \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})}{3^2 – (\sqrt{3})^2} = \frac{3 + \sqrt{3} – 3\sqrt{3} – 3}{9 – 3} = \frac{-2\sqrt{3}}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$
Step 2: \(\sin^2 \theta\) 값 구하기
\(\tan^2 \theta = \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\)
\(\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}\) 관계식을 이용합니다.
$$ \frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta} = \frac{1}{3} $$
양변을 교차하여 곱합니다.
$$ 3\sin^2 \theta = 1 – \sin^2 \theta $$
$$ 4\sin^2 \theta = 1 $$
$$ \sin^2 \theta = \frac{1}{4} $$
Step 3: \(\sin \theta\) 값 결정
\(\sin^2 \theta = \frac{1}{4}\)이므로 \(\sin \theta = \pm \frac{1}{2}\)입니다.
문제에서 \(θ\)는 제2사분면의 각(\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\))이므로 \(\sin \theta\)는 양수입니다.
$$ \sin \theta = \frac{1}{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각방정식을 풀고 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 특정 삼각함수의 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각방정식 풀이: 주어진 \(\tan \theta\)에 대한 방정식을 풀어 \(\tan \theta\) 값을 구할 수 있어야 합니다. 분모 유리화 계산을 포함합니다.
- 삼각함수 관계식: \(\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{1-\sin^2 \theta}\) 와 같은 삼각함수 사이의 관계식을 이용하여 원하는 삼각함수의 값을 구할 수 있어야 합니다.
- 사분면별 부호: 각의 범위가 주어졌을 때, 해당 사분면에서 삼각함수의 부호를 정확히 판단하여 최종 값을 결정해야 합니다. 제2사분면에서는 \(\sin \theta\)가 양수입니다.
이 문제에서는 주어진 식을 풀어 \(\tan \theta\) 값을 구하고, 삼각함수 관계식을 이용하여 \(\sin^2 \theta\) 값을 계산한 후, 각의 사분면 정보를 통해 \(\sin \theta\)의 부호를 결정하여 최종 답을 구했습니다.
✅ 최종 정답
③ \(\frac{1}{2}\)