📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 \(\sin \theta\)에 대한 식을 이용하여 \(\tan \theta\)의 값을 구하는 문제입니다. 먼저 주어진 식의 좌변을 통분하여 간단히 하고, \(\cos^2 \theta\)의 값을 구합니다. 이어서 \(\sin^2 \theta\)의 값을 구하고, 주어진 각 \(θ\)의 범위를 이용하여 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)의 부호를 결정하여 값을 구한 후, \(\tan \theta\)를 계산합니다. 통분, 삼각함수 제곱 관계, 사분면별 부호 판별이 핵심입니다.
- 좌변 정리: 주어진 식 \(\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{5}{2}\)의 좌변을 통분하여 간단히 합니다.
- \(\cos^2 \theta\) 값 구하기: 정리된 식과 삼각함수 관계식 \(1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta\)를 이용하여 \(\cos^2 \theta\)의 값을 구합니다.
- \(\sin^2 \theta\) 값 구하기: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 관계식을 이용하여 \(\sin^2 \theta\)의 값을 구합니다.
- \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) 값 결정: 주어진 \(θ\)의 범위 \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\) (제3사분면)를 이용하여 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)의 부호를 결정하고 최종 값을 구합니다.
- \(\tan \theta\) 값 계산: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)를 이용하여 값을 계산합니다.
핵심 공식:
\((1+\sin \theta)(1-\sin \theta) = 1 – \sin^2 \theta\)
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
제3사분면에서 \(\sin \theta < 0\), \(\cos \theta < 0\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 좌변 정리
주어진 식의 좌변을 통분합니다. 공통 분모는 \((1+\sin \theta)(1-\sin \theta) = 1 – \sin^2 \theta\) 입니다.
$$ \frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{(1-\sin \theta) + (1+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)} $$
분자를 계산하고 분모에 삼각함수 관계식 \(1 – \sin^2 \theta = \cos^2 \theta\)를 적용합니다.
$$ = \frac{2}{1 – \sin^2 \theta} = \frac{2}{\cos^2 \theta} $$
Step 2: \(\cos^2 \theta\) 값 구하기
주어진 등식은 \(\frac{2}{\cos^2 \theta} = \frac{5}{2}\) 입니다.
이 식을 풀어 \(\cos^2 \theta\)의 값을 구합니다.
$$ 5 \cos^2 \theta = 4 $$
$$ \cos^2 \theta = \frac{4}{5} $$
Step 3: \(\sin^2 \theta\) 값 구하기
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 관계식을 이용합니다.
$$ \sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta = 1 – \frac{4}{5} = \frac{1}{5} $$
Step 4: \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) 값 결정
문제에서 \(θ\)는 제3사분면의 각(\(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\))이므로 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)는 모두 음수입니다.
\(\sin^2 \theta = \frac{1}{5}\)이므로 \(\sin \theta = -\sqrt{\frac{1}{5}} = -\frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{5}\) 입니다.
\(\cos^2 \theta = \frac{4}{5}\)이므로 \(\cos \theta = -\sqrt{\frac{4}{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}\) 입니다.
Step 5: \(\tan \theta\) 값 계산
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)를 이용하여 값을 계산합니다.
$$ \tan \theta = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{5}}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각함수 관계식을 이용하여 식을 간단히 하고, 주어진 조건을 만족하는 삼각함수 값을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수 항등식: \((1+\sin \theta)(1-\sin \theta) = \cos^2 \theta\)와 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\) 등 기본 항등식을 활용하여 식을 변형합니다.
- 대수적 조작: 분수의 통분 및 방정식 풀이를 정확하게 수행합니다.
- 사분면별 부호: 각의 범위가 주어졌을 때, 해당 사분면에서 각 삼각함수의 부호를 정확히 판단하여 값을 결정합니다. 제3사분면에서는 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\) 모두 음수입니다.
- 탄젠트 정의: \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)를 이용하여 최종 값을 계산합니다.
이 문제에서는 주어진 식을 통분하고 삼각함수 관계식을 이용하여 \(\cos^2 \theta\)와 \(\sin^2 \theta\) 값을 구했습니다. 이후 각의 사분면 정보를 이용하여 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)의 부호를 결정하고, 최종적으로 \(\tan \theta\) 값을 계산했습니다.
✅ 최종 정답
③ \(\frac{1}{2}\)