📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(\sin \theta – \cos \theta = \frac{1}{2}\)일 때, \(\sin \theta \cos \theta\)의 값을 구하는 문제입니다. 주어진 식의 양변을 제곱하고, 삼각함수 제곱 관계식 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 구하는 전략을 사용합니다.
- 양변 제곱: 주어진 식 \(\sin \theta – \cos \theta = \frac{1}{2}\)의 양변을 제곱합니다.
- 제곱 관계식 활용: 제곱하여 전개한 식에 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 적용하여 식을 간단하게 만듭니다.
- \(\sin \theta \cos \theta\) 계산: 간단해진 식을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\)의 값을 구합니다.
핵심 공식:
\((\sin \theta – \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta – 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta\)
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 양변 제곱
주어진 식 \(\sin \theta – \cos \theta = \frac{1}{2}\)의 양변을 제곱합니다.
$$ (\sin \theta – \cos \theta)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 $$
좌변을 전개합니다.
$$ \sin^2 \theta – 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4} $$
Step 2: 제곱 관계식 활용
전개된 식에 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 적용합니다.
$$ (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) – 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} $$
$$ 1 – 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} $$
Step 3: \(\sin \theta \cos \theta\) 계산
식을 \(\sin \theta \cos \theta\)에 대해 정리합니다.
$$ -2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} – 1 $$
$$ -2\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{4} $$
양변을 -2로 나눕니다.
$$ \sin \theta \cos \theta = \frac{3}{8} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 \(\sin \theta – \cos \theta\) 값이 주어졌을 때 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 구하는 기본적인 삼각함수 계산 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 삼각함수 제곱 관계: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)은 삼각함수 문제를 푸는 데 매우 중요하게 사용되는 기본 공식입니다.
- 곱셈 공식 활용: \(\sin \theta \pm \cos \theta\)를 제곱하면 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\) 항과 \(\sin \theta \cos \theta\) 항이 나타나는 것을 이용하여 관련 값들을 구할 수 있습니다.
주어진 식 \(\sin \theta – \cos \theta = \frac{1}{2}\)를 제곱하여 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 적용함으로써 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 쉽게 구할 수 있었습니다. 이 방법은 \(\sin \theta + \cos \theta\) 값이 주어졌을 때도 동일하게 적용될 수 있습니다.
✅ 최종 정답
② \(\frac{3}{8}\)