📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 보기 (ㄱ, ㄴ, ㄷ)에서 각의 성질에 대한 설명 중 옳은 것을 모두 고르는 문제입니다. 각 보기에 대해 라디안과 도(degree)의 관계, 각의 사분면 위치, 동경의 일치 여부를 판단하는 전략을 사용합니다.
- 보기 ㄱ 확인: 라디안과 도의 관계 (\(1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}\))를 이용하여 주어진 등식이 성립하는지 확인합니다.
- 보기 ㄴ 확인: 음의 각 \(-220^\circ\)를 일반각 \(360^\circ \times n + \alpha\) (단, \(0^\circ \le \alpha < 360^\circ\)) 형태로 변환하여 어느 사분면에 속하는지 확인합니다.
- 보기 ㄷ 확인: 주어진 각들을 일반각 \(2n\pi + \alpha\) (단, \(0 \le \alpha < 2\pi\)) 형태로 변환하여 각 각을 나타내는 동경이 일치하는지 확인합니다. 동경이 일치하려면 \(\alpha\) 값이 모두 같아야 합니다.
핵심 개념:
1. 라디안과 도의 관계: \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\), \(1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}\)
2. 사분면의 각: 제1사분면(\(0^\circ < \theta < 90^\circ\)), 제2사분면(\(90^\circ < \theta < 180^\circ\)), 제3사분면(\(180^\circ < \theta < 270^\circ\)), 제4사분면(\(270^\circ < \theta < 360^\circ\))
3. 동경의 일치: 두 각 \(\alpha, \beta\)를 나타내는 동경이 일치할 조건은 \(\alpha – \beta = 360^\circ \times n\) 또는 \(\alpha – \beta = 2n\pi\) (n은 정수) 입니다. 또는 각 각을 일반각으로 표현했을 때 표준 위치의 각이 같으면 됩니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 보기 ㄱ 확인
\(1 \text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}\) 이므로, \(2 \text{ rad}\)는 다음과 같습니다.
$$ 2 = 2 \times 1 \text{ rad} = 2 \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{360^\circ}{\pi} $$
따라서 보기 ㄱ은 옳습니다.
Step 2: 보기 ㄴ 확인
\(-220^\circ\)를 일반각 형태로 변환합니다.
$$ -220^\circ = 360^\circ \times (-1) + 140^\circ $$
\(140^\circ\)는 \(90^\circ < 140^\circ < 180^\circ\)이므로 제2사분면의 각입니다.
따라서 보기 ㄴ은 옳습니다.
Step 3: 보기 ㄷ 확인
각 각을 \(2n\pi + \alpha\) (단, \(0 \le \alpha < 2\pi\)) 형태로 나타내어 동경의 위치를 확인합니다.
$$ \frac{\pi}{6} \quad (\alpha = \frac{\pi}{6}) $$
$$ \frac{17\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} + \frac{5\pi}{6} = 2\pi \times 1 + \frac{5\pi}{6} \quad (\alpha = \frac{5\pi}{6}) $$
$$ -\frac{11\pi}{6} = -\frac{12\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 2\pi \times (-1) + \frac{\pi}{6} \quad (\alpha = \frac{\pi}{6}) $$
\(\frac{\pi}{6}\)과 \(-\frac{11\pi}{6}\)는 같은 동경(\(\alpha = \frac{\pi}{6}\))을 나타내지만, \(\frac{17\pi}{6}\)는 다른 동경(\(\alpha = \frac{5\pi}{6}\))을 나타냅니다. 따라서 세 동경이 모두 일치하지는 않습니다.
따라서 보기 ㄷ은 틀립니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 각의 표현 방법(호도법과 육십분법), 각의 사분면 위치, 동경의 일치 조건 등 각의 기본적인 성질을 묻는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 호도법과 육십분법 변환: \(\pi \text{ rad} = 180^\circ\) 관계를 이용하여 두 표현법 사이를 자유롭게 변환할 수 있어야 합니다.
- 일반각 표현: 각을 \(360^\circ \times n + \alpha\) 또는 \(2n\pi + \alpha\) 형태로 표현하여 각이 속한 사분면이나 동경의 위치를 파악할 수 있어야 합니다. (\(n\)은 정수, \(0^\circ \le \alpha < 360^\circ\) 또는 \(0 \le \alpha < 2\pi\))
- 동경의 일치 조건: 두 각을 나타내는 동경이 일치하는지 확인하려면, 각 각을 일반각으로 표현했을 때 표준 위치의 각(\(\alpha\))이 같은지 확인하면 됩니다.
보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ을 각각 검증한 결과, ㄱ과 ㄴ이 옳은 설명임을 확인했습니다.
✅ 최종 정답
③ ㄱ, ㄴ