📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 삼각함수 식을 간단히 하는 문제입니다. 식의 형태를 관찰하여 합차 공식을 적용하고, 삼각함수 기본 관계식(\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\))을 이용하여 식을 정리하는 전략을 사용합니다.
- 항 재배열: 곱셈의 교환법칙을 이용하여 합차 공식을 적용하기 쉽게 항의 순서를 바꿉니다.
- 합차 공식 적용: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 공식을 두 번 적용합니다.
- 통분 및 정리: 괄호 안의 식을 각각 통분하여 정리합니다.
- 삼각함수 관계식 적용: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하여 분자를 변형합니다.
- 최종 계산: 변형된 식들을 곱하고 약분하여 최종 결과를 구합니다.
핵심 공식:
\((a+b)(a-b) = a^2 – b^2\) (합차 공식)
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 항 재배열 및 합차 공식 적용
주어진 식의 항 순서를 바꾸어 합차 공식을 적용하기 쉽게 만듭니다.
$$ \left(1 + \frac{1}{\sin \theta}\right) \left(1 + \frac{1}{\cos \theta}\right) \left(1 – \frac{1}{\sin \theta}\right) \left(1 – \frac{1}{\cos \theta}\right) $$
$$ = \left\{ \left(1 + \frac{1}{\sin \theta}\right) \left(1 – \frac{1}{\sin \theta}\right) \right\} \left\{ \left(1 + \frac{1}{\cos \theta}\right) \left(1 – \frac{1}{\cos \theta}\right) \right\} $$
합차 공식 \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)을 각 괄호에 적용합니다.
$$ = \left( 1^2 – \left(\frac{1}{\sin \theta}\right)^2 \right) \left( 1^2 – \left(\frac{1}{\cos \theta}\right)^2 \right) $$
$$ = \left( 1 – \frac{1}{\sin^2 \theta} \right) \left( 1 – \frac{1}{\cos^2 \theta} \right) $$
Step 2: 통분 및 삼각함수 관계식 적용
각 괄호 안의 식을 통분합니다.
$$ = \left( \frac{\sin^2 \theta – 1}{\sin^2 \theta} \right) \left( \frac{\cos^2 \theta – 1}{\cos^2 \theta} \right) $$
삼각함수 제곱 관계식 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하면,
\(\sin^2 \theta – 1 = -\cos^2 \theta\) 이고, \(\cos^2 \theta – 1 = -\sin^2 \theta\) 입니다. 이를 대입합니다.
$$ = \left( \frac{-\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \right) \left( \frac{-\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} \right) $$
Step 3: 최종 계산
두 분수를 곱합니다.
$$ = \frac{(-\cos^2 \theta)(-\sin^2 \theta)}{(\sin^2 \theta)(\cos^2 \theta)} = \frac{\cos^2 \theta \sin^2 \theta}{\sin^2 \theta \cos^2 \theta} $$
분자와 분모가 같으므로 약분하면 1이 됩니다.
$$ = 1 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 삼각함수 식을 간단히 하는 과정에서 합차 공식과 삼각함수 기본 관계식을 효과적으로 활용하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 합차 공식 활용: \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) 형태를 빠르게 파악하고 적용하여 식을 간단하게 만드는 것이 중요합니다.
- 삼각함수 제곱 관계: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)은 \(1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta\), \(1-\cos^2 \theta = \sin^2 \theta\) 등으로 변형하여 다양하게 활용됩니다.
- 대수적 조작: 분수의 통분, 곱셈, 약분 등 기본적인 대수적 계산을 정확하게 수행해야 합니다.
주어진 식의 구조를 파악하여 합차 공식을 먼저 적용하고, 이후 삼각함수 제곱 관계식을 이용하면 식이 효과적으로 간단해짐을 알 수 있습니다.
✅ 최종 정답
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