📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 각 \(θ\)와 \(6θ\)를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 때, 주어진 범위 내에서 \(θ\)의 크기를 구하는 문제입니다. 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대라는 것은 두 각의 차이가 \(\pi\)의 홀수 배(\(180^\circ\)의 홀수 배)임을 의미합니다. 이 조건을 이용하여 \(θ\)에 대한 방정식을 세우고, 주어진 범위(\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\))를 만족하는 \(θ\)값을 찾는 전략을 사용합니다.
- 동경의 위치 관계 해석: 두 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 조건을 수학적 식으로 표현합니다.
- 방정식 설정: 두 각의 차이 \(6\theta – \theta\)가 \(\pi\)의 홀수 배 (\((2n+1)\pi\), \(n\)은 정수)임을 이용하여 방정식을 세웁니다.
- \(\theta\)의 일반해 구하기: 방정식을 풀어 \(θ\)를 정수 \(n\)에 대한 일반적인 형태로 나타냅니다.
- 범위 적용 및 \(n\) 값 찾기: 구한 \(θ\)의 일반해를 주어진 범위 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에 대입하여 부등식을 세우고, 이를 만족하는 정수 \(n\)의 값을 찾습니다.
- \(\theta\) 값 계산: 찾은 정수 \(n\)의 값을 \(θ\)의 일반해 식에 대입하여 구체적인 \(θ\)값을 계산합니다.
핵심 개념:
두 각 \(\alpha, \beta\)를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대일 조건:
\(\alpha – \beta = (2n+1)\pi\) (단, \(n\)은 정수)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 동경의 위치 관계를 이용한 방정식 설정
각 \(θ\)와 \(6θ\)를 나타내는 동경이 일직선 위에 있고 방향이 반대이므로, 두 각의 차이는 \(\pi\)의 홀수 배입니다.
$$ 6\theta – \theta = (2n+1)\pi \quad (n\text{은 정수}) $$
Step 2: \(\theta\)의 일반해 구하기
방정식을 간단히 하여 \(θ\)에 대해 풉니다.
$$ 5\theta = (2n+1)\pi $$
$$ \theta = \frac{2n+1}{5}\pi $$
이것이 \(θ\)의 일반적인 형태(일반해)입니다.
Step 3: 범위 적용 및 \(n\) 값 찾기
주어진 \(θ\)의 범위 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)에 위에서 구한 \(θ\)의 일반해를 대입합니다.
$$ \frac{\pi}{2} < \frac{2n+1}{5}\pi < \pi $$
각 변을 \(\pi\)로 나누고 부등식을 정리합니다.
$$ \frac{1}{2} < \frac{2n+1}{5} < 1 $$
각 변에 5를 곱합니다.
$$ \frac{5}{2} < 2n+1 < 5 $$
각 변에서 1을<0xEB><0xBA><0xB9>니다.
$$ \frac{5}{2} – 1 < 2n < 5 - 1 $$
$$ \frac{3}{2} < 2n < 4 $$
각 변을 2로 나눕니다.
$$ \frac{3}{4} < n < 2 $$
이 부등식을 만족하는 정수 \(n\)은 \(n=1\) 뿐입니다.
Step 4: \(\theta\) 값 계산
Step 2에서 구한 \(θ\)의 일반해 식에 \(n=1\)을 대입하여 \(θ\)값을 계산합니다.
$$ \theta = \frac{2(1)+1}{5}\pi = \frac{3}{5}\pi $$
이 값은 주어진 범위 \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) (\(\frac{2.5\pi}{5} < \theta < \frac{5\pi}{5}\))를 만족합니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 두 동경의 위치 관계(특히 일직선 위에 있고 방향이 반대인 경우)를 이해하고 이를 수학적 방정식으로 표현하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 동경의 위치 관계: 두 동경이 이루는 다양한 위치 관계(일치, x축 대칭, y축 대칭, 원점 대칭, \(y=x\) 대칭 등)를 각의 합 또는 차를 이용하여 일반각 형태로 표현할 수 있어야 합니다. 일직선 위에 있고 방향이 반대인 경우는 두 각의 차이가 \((2n+1)\pi\) 임을 의미합니다.
- 일반각: 각을 \(2n\pi + \alpha\) (또는 \(360^\circ \times n + \alpha\)) 형태로 표현하여 모든 가능한 각을 나타내는 방법입니다.
- 부등식 풀이: 주어진 각의 범위를 이용하여 일반해에 포함된 정수 \(n\)의 값을 찾는 과정에서 부등식을 정확히 풀어야 합니다.
두 동경의 위치 관계를 정확히 식으로 표현하고, 주어진 각의 범위를 이용하여 조건을 만족하는 특정 각을 찾는 단계적인 풀이가 중요합니다.
✅ 최종 정답
② \(\frac{3}{5}\pi\)