📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 둘레의 길이가 60으로 고정된 부채꼴 중에서 넓이가 최대가 되는 경우의 반지름 길이(\(a\))와 중심각의 크기(\(b\))를 구하고, \(a+b\)의 값을 계산하는 문제입니다. 부채꼴의 반지름과 호의 길이를 이용하여 둘레와 넓이를 나타내는 식을 세우고, 넓이를 반지름에 대한 이차함수로 표현하여 최대값을 구하는 전략을 사용합니다.
- 변수 설정 및 관계식: 부채꼴의 반지름을 \(r\), 호의 길이를 \(l\)이라고 설정합니다. 둘레의 길이가 60이므로 \(2r + l = 60\) 관계식을 얻습니다. 이를 이용하여 \(l\)을 \(r\)에 대해 표현합니다. (\(l = 60 – 2r\))
- 변수 범위 설정: 반지름 \(r\)과 호의 길이 \(l\)은 모두 양수여야 하므로, \(r > 0\)이고 \(l = 60 – 2r > 0\) 이어야 합니다. 이를 통해 \(r\)의 범위를 구합니다. (\(0 < r < 30\))
- 넓이 함수 설정: 부채꼴의 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl\) 공식을 이용하여 넓이 \(S\)를 반지름 \(r\)에 대한 함수로 나타냅니다.
- 최대 넓이 조건 찾기: \(S\)를 \(r\)에 대한 이차함수로 보고, 주어진 \(r\)의 범위 내에서 넓이가 최대가 되는 \(r\)의 값(즉, \(a\))을 찾습니다. 이차함수의 표준형 변환을 이용합니다.
- 중심각 계산: 넓이가 최대일 때의 반지름 \(a\)와 그때의 호의 길이 \(l\)을 이용하여 중심각 \(b\)를 구합니다. (\(l = ab\))
- 최종 값 계산: 구한 \(a\)와 \(b\)를 더하여 \(a+b\)의 값을 계산합니다.
핵심 공식:
반지름이 \(r\), 호의 길이가 \(l\), 중심각이 \(θ\) (라디안)인 부채꼴:
- 둘레의 길이 = \(2r + l\)
- 넓이 \(S = \frac{1}{2}rl = \frac{1}{2}r^2θ\)
- 호의 길이 \(l = rθ\)
이차함수 \(y = ax^2 + bx + c\)의 최대/최소: 표준형 \(y = a(x-p)^2 + q\)로 변환하여 꼭짓점 \((p, q)\)에서 최대 또는 최소값을 찾습니다.
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 변수 설정 및 관계식, 범위 설정
부채꼴의 반지름의 길이를 \(r\), 호의 길이를 \(l\)이라고 합니다.
둘레의 길이가 60이므로,
$$ 2r + l = 60 $$
따라서 호의 길이 \(l\)은 반지름 \(r\)로 다음과 같이 표현됩니다.
$$ l = 60 – 2r $$
반지름 \(r\)과 호의 길이 \(l\)은 모두 양수여야 하므로,
$$ r > 0 $$
$$ l = 60 – 2r > 0 \implies 2r < 60 \implies r < 30 $$
따라서 반지름 \(r\)의 범위는 \(0 < r < 30\) 입니다.
Step 2: 넓이 함수 설정
부채꼴의 넓이를 \(S\)라고 하면, 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}rl\)을 이용합니다.
Step 1에서 구한 \(l = 60 – 2r\)을 대입하여 넓이 \(S\)를 \(r\)에 대한 함수로 나타냅니다.
$$ S(r) = \frac{1}{2}r(60 – 2r) $$
$$ S(r) = 30r – r^2 $$
Step 3: 최대 넓이 조건 찾기
넓이 \(S(r) = -r^2 + 30r\)는 \(r\)에 대한 이차함수입니다. 최대값을 구하기 위해 표준형으로 변환합니다.
$$ S(r) = -(r^2 – 30r) = -(r^2 – 30r + 15^2 – 15^2) $$
$$ = -\{(r-15)^2 – 225\} $$
$$ = -(r-15)^2 + 225 $$
이 이차함수는 위로 볼록한 포물선이며, 꼭짓점은 \((15, 225)\)입니다. \(r=15\)는 범위 \(0 < r < 30\) 안에 포함되므로, 넓이 \(S\)는 \(r=15\)일 때 최댓값 225를 갖습니다.
따라서 넓이가 최대일 때의 반지름의 길이는 \(a = 15\)입니다.
Step 4: 중심각 계산
넓이가 최대일 때의 반지름 \(a=15\)입니다. 이때의 호의 길이 \(l\)은,
$$ l = 60 – 2a = 60 – 2(15) = 60 – 30 = 30 $$
중심각의 크기를 \(b\) (라디안)라고 하면, 호의 길이 공식 \(l = ab\)에서,
$$ 30 = 15 \times b $$
따라서 중심각의 크기는 \(b = \frac{30}{15} = 2\) 라디안입니다.
(참고: 넓이 공식 \(S = \frac{1}{2}a^2 b\)를 이용해도 됩니다. \(225 = \frac{1}{2}(15)^2 b = \frac{225}{2} b \implies b = 2\))
Step 5: 최종 값 계산
문제에서 요구하는 \(a+b\)의 값을 계산합니다.
$$ a + b = 15 + 2 = 17 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 부채꼴의 둘레 길이가 일정할 때 넓이가 최대가 되는 조건을 찾는 최적화 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 부채꼴 공식 활용: 부채꼴의 둘레(\(2r+l\))와 넓이(\(S=\frac{1}{2}rl\)) 공식을 이용하여 변수 간의 관계식을 세우고 목표 함수(넓이)를 설정합니다.
- 이차함수의 최대/최소: 넓이 함수를 특정 변수(반지름 \(r\))에 대한 이차함수로 표현하고, 제한된 변수 범위 내에서 이차함수의 최댓값을 구합니다. 표준형 변환 또는 꼭짓점의 좌표를 이용합니다.
- 산술-기하 평균 부등식 활용 (대안적 풀이): 둘레 \(2r+l=60\)이 일정할 때 넓이 \(S=\frac{1}{2}rl\)의 최대는 \(rl\)의 최대를 구하는 것과 같습니다. 산술-기하 평균 부등식 \(2r+l \ge 2\sqrt{2r \cdot l}\)을 이용하면 \(60 \ge 2\sqrt{2rl}\), \(30 \ge \sqrt{2rl}\), \(900 \ge 2rl\), \(rl \le 450\) 이므로 \(S \le \frac{1}{2}(450) = 225\) 입니다. 등호는 \(2r = l\)일 때 성립하며, \(2r+2r=60\)에서 \(r=15\)일 때입니다. 이때 \(l=30\)이고 중심각 \(b = l/r = 30/15 = 2\) 라디안입니다.
- 중심각 계산: 넓이가 최대가 되는 반지름과 호의 길이를 이용하여 \(l=rb\) 관계식으로 중심각(라디안 단위)을 계산합니다.
이차함수의 최대/최소 문제로 변환하여 푸는 것이 일반적이며, 산술-기하 평균 부등식을 이용하면 등호 성립 조건에서 바로 \(r\)과 \(l\)의 관계(\(2r=l\))를 얻을 수 있어 계산이 간결해질 수 있습니다.
✅ 최종 정답
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