📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 직선의 방정식이 주어졌을 때, 이 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각 \(\theta\)에 대한 삼각함수 식의 값을 구하는 문제입니다. 직선의 기울기가 \(\tan \theta\)와 같다는 점과 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 문제를 해결합니다.
- 기울기 (\(\tan \theta\)) 구하기: 주어진 직선의 방정식을 \(y = mx + c\) 형태로 변환하여 기울기 \(m\)을 구합니다. 이 기울기가 \(\tan \theta\)의 값이 됩니다.
- 사분면 판단: 직선의 기울기와 y절편, 또는 주어진 그림을 통해 각 \(\theta\)가 어느 사분면에 속하는지 판단합니다. 이는 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)의 부호를 결정하는 데 필요합니다.
- \(\sin \theta\), \(\cos \theta\) 값 구하기: \(\tan \theta\) 값과 삼각함수 관계식(\(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\), \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\))을 이용하여 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\)의 값을 구합니다. 사분면 정보를 이용하여 부호를 결정합니다.
- 목표 식 계산: 구한 \(\sin \theta\), \(\cos \theta\), \(\tan \theta\) 값을 목표 식 \(\frac{1}{\sin \theta \cos \theta \tan \theta}\)에 대입하여 계산합니다. (간단한 방법: \(\sin \theta \cos \theta \tan \theta = \sin^2 \theta\)임을 이용)
핵심 개념:
1. 직선 \(y=mx+c\)가 x축의 양의 방향과 이루는 각을 \(\theta\)라 할 때, 기울기 \(m = \tan \theta\) 입니다.
2. 삼각함수 관계식: \(1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\), \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)
3. 사분면별 삼각함수 부호
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 기울기 (\(\tan \theta\)) 구하기
직선 \(x+3y=2\)의 방정식을 \(y\)에 대해 정리합니다.
$$ 3y = -x + 2 $$
$$ y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} $$
직선의 기울기는 \(-\frac{1}{3}\)입니다. 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 \(\theta\)이므로,
$$ \tan \theta = -\frac{1}{3} $$
Step 2: 사분면 판단 및 \(\cos \theta\), \(\sin \theta\) 값 구하기
기울기가 음수(\(-\frac{1}{3}\))이고, y절편이 양수(\(\frac{2}{3}\))이므로, 직선은 제2사분면과 제4사분면을 지납니다. 그림에서 \(\theta\)는 x축의 양의 방향과 이루는 각이므로, \(90^\circ < \theta < 180^\circ\) (\(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\)) 즉, 제2사분면의 각임을 알 수 있습니다.
삼각함수 관계식 \(1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}\)를 이용합니다.
$$ 1 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$
$$ 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 \theta} $$
$$ \cos^2 \theta = \frac{9}{10} $$
\(\theta\)는 제2사분면의 각이므로 \(\cos \theta < 0\)입니다.
$$ \cos \theta = -\sqrt{\frac{9}{10}} = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10} $$
\(\sin^2 \theta = 1 – \cos^2 \theta = 1 – \frac{9}{10} = \frac{1}{10}\) 이고, 제2사분면에서 \(\sin \theta > 0\) 이므로,
$$ \sin \theta = \sqrt{\frac{1}{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} $$
Step 3: \(\sin \theta \cos \theta \tan \theta\) 값 계산
목표 식의 분모 부분을 계산합니다.
\(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\) 관계를 이용하면 계산을 간단히 할 수 있습니다.
$$ \sin \theta \cos \theta \tan \theta = \sin \theta \cos \theta \left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right) = \sin^2 \theta $$
Step 2에서 \(\sin^2 \theta = \frac{1}{10}\) 임을 구했습니다.
$$ \sin \theta \cos \theta \tan \theta = \frac{1}{10} $$
(직접 대입하여 계산해도 같은 결과를 얻습니다: \(\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \times \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \times \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{10}\))
Step 4: 최종 값 계산
문제에서 요구하는 식의 값을 계산합니다.
$$ \frac{1}{\sin \theta \cos \theta \tan \theta} = \frac{1}{\sin^2 \theta} = \frac{1}{\frac{1}{10}} = 10 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 직선의 기울기와 삼각함수 \(\tan \theta\)의 관계를 이해하고, 삼각함수 사이의 관계식을 활용하여 식의 값을 계산하는 능력을 평가합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 기울기와 탄젠트: 직선이 x축 양의 방향과 이루는 각 \(\theta\)에 대해, 직선의 기울기는 \(\tan \theta\)와 같습니다.
- 삼각함수 관계식: \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)과 \(1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta = 1/\cos^2 \theta\) 등의 기본 관계식은 \(\tan \theta\) 값으로부터 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\) 값을 구하는 데 필수적입니다.
- 사분면과 부호: 각 \(\theta\)가 속한 사분면에 따라 삼각함수 값의 부호가 결정되므로, 사분면을 정확히 판단하는 것이 중요합니다. 제2사분면에서는 \(\sin \theta > 0\), \(\cos \theta < 0\), \(\tan \theta < 0\) 입니다.
- 식의 간소화: \(\tan \theta = \sin \theta / \cos \theta\)를 이용하여 주어진 식을 더 간단한 형태로 변환하면 계산 실수를 줄일 수 있습니다. (\(\sin\theta\cos\theta\tan\theta = \sin^2\theta\))
직선의 기울기로부터 \(\tan \theta\) 값을 구하고, 삼각함수 관계식과 사분면 정보를 이용하여 \(\sin \theta\)와 \(\cos \theta\) 값을 결정한 후, 목표 식의 값을 계산하는 체계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
10