📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 주어진 각 \(θ\)의 범위(\(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\), 즉 제3사분면)에서 삼각함수로 이루어진 식들의 부호를 판별하여 옳은 것을 고르는 문제입니다. 제3사분면에서 각 삼각함수(\(\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta\))의 부호를 먼저 파악하고, 이를 이용하여 각 보기의 부호를 판단하는 전략을 사용합니다.
- 사분면 확인: 주어진 각 \(θ\)의 범위 \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\)가 제3사분면임을 확인합니다.
- 사분면별 부호 파악: 제3사분면에서 \(\sin \theta, \cos \theta, \tan \theta\) 각각의 부호를 결정합니다.
- 보기 검증: 파악된 부호를 이용하여 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ의 각 식이 양수인지, 음수인지, 0인지 판별하여 참/거짓을 판단합니다.
핵심 개념:
각 사분면에서의 삼각함수 부호
- 제1사분면 ( \(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\) ): 모두 양수 (+)
- 제2사분면 ( \(\frac{\pi}{2} < \theta < \pi\) ): \(\sin \theta\)만 양수 (+)
- 제3사분면 ( \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\) ): \(\tan \theta\)만 양수 (+)
- 제4사분면 ( \(\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi\) ): \(\cos \theta\)만 양수 (+)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 사분면 확인 및 삼각함수 부호 파악
주어진 각 \(θ\)의 범위는 \(\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}\) 이므로, 이는 제3사분면입니다.
제3사분면에서 각 삼각함수의 부호는 다음과 같습니다:
- \(\sin \theta < 0\) (음수)
- \(\cos \theta < 0\) (음수)
- \(\tan \theta > 0\) (양수)
Step 2: 보기 ㄱ 검증 (\(\sin \theta + \cos \theta < 0\))
제3사분면에서 \(\sin \theta\)는 음수이고, \(\cos \theta\)도 음수입니다.
음수와 음수의 합은 항상 음수입니다.
$$ (\text{음수}) + (\text{음수}) = (\text{음수}) $$
따라서 \(\sin \theta + \cos \theta < 0\) 입니다. 보기 ㄱ은 옳습니다.
Step 3: 보기 ㄴ 검증 (\(\sin \theta \tan \theta < 0\))
제3사분면에서 \(\sin \theta\)는 음수이고, \(\tan \theta\)는 양수입니다.
음수와 양수의 곱은 항상 음수입니다.
$$ (\text{음수}) \times (\text{양수}) = (\text{음수}) $$
따라서 \(\sin \theta \tan \theta < 0\) 입니다. 보기 ㄴ은 옳습니다.
Step 4: 보기 ㄷ 검증 (\(\cos \theta > 0\))
제3사분면에서 \(\cos \theta\)는 음수입니다.
따라서 \(\cos \theta > 0\)은 거짓입니다. 보기 ㄷ은 틀립니다.
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 주어진 각의 범위(사분면)를 파악하고, 해당 사분면에서 각 삼각함수의 부호를 정확히 아는 것이 핵심입니다. 이를 바탕으로 주어진 식들의 부호를 판별할 수 있습니다.
- 사분면과 삼각함수 부호: 각 사분면마다 어떤 삼각함수가 양수인지, 음수인지 기억하는 것이 중요합니다. (“얼싸안코” 또는 “All Students Take Calculus” 등의 암기법 활용 가능)
- 부호 연산: 양수와 음수의 덧셈, 곱셈 결과의 부호를 정확히 판단해야 합니다.
제3사분면에서 \(\sin \theta < 0\), \(\cos \theta < 0\), \(\tan \theta > 0\)임을 이용하여 각 보기의 참/거짓을 판별한 결과, ㄱ과 ㄴ이 옳은 설명이었습니다.
✅ 최종 정답
④ ㄱ, ㄴ