📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 \(\sin \theta + \cos \theta\)의 값이 주어졌을 때, \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\)의 값을 구하는 문제입니다. 주어진 식의 양변을 제곱하여 \(\sin \theta \cos \theta\)의 값을 먼저 구하고, 곱셈 공식의 변형을 이용하여 \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\)를 \(\sin \theta \cos \theta\)로 표현하여 값을 계산합니다. 삼각함수 제곱 관계와 곱셈 공식 변형 활용이 핵심입니다.
- \(\sin \theta \cos \theta\) 값 구하기: 주어진 식 \(\sin \theta + \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)의 양변을 제곱하고, \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하여 \(\sin \theta \cos \theta\)의 값을 구합니다.
- \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\) 표현 변형: 곱셈 공식 변형 \(a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 – 2a^2b^2\)을 이용하여 \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\)를 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta\)와 \(\sin \theta \cos \theta\)로 나타냅니다.
- 값 대입 및 계산: 구한 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 변형된 식에 대입하여 최종 값을 계산합니다.
핵심 공식:
\((\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta\)
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)
\(a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 – 2a^2b^2\)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: \(\sin \theta \cos \theta\) 값 구하기
주어진 식 \(\sin \theta + \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}\)의 양변을 제곱합니다.
$$ (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 $$
좌변을 전개합니다.
$$ \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 적용합니다.
$$ 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} $$
식을 \(\sin \theta \cos \theta\)에 대해 정리합니다.
$$ 2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{2} – 1 = -\frac{1}{2} $$
$$ \sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4} $$
Step 2: \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\) 표현 변형 및 계산
곱셈 공식 변형 \(a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 – 2a^2b^2\)을 이용합니다.
여기서 \(a = \sin \theta\), \(b = \cos \theta\)로 두면,
$$ \sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 – 2(\sin \theta \cos \theta)^2 $$
\(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)이므로,
$$ = 1^2 – 2(\sin \theta \cos \theta)^2 $$
$$ = 1 – 2(\sin \theta \cos \theta)^2 $$
Step 1에서 구한 \(\sin \theta \cos \theta = -\frac{1}{4}\)를 대입합니다.
$$ = 1 – 2\left(-\frac{1}{4}\right)^2 $$
$$ = 1 – 2\left(\frac{1}{16}\right) $$
$$ = 1 – \frac{2}{16} = 1 – \frac{1}{8} $$
$$ = \frac{7}{8} $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 \(\sin \theta + \cos \theta\) 값이 주어졌을 때 \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\) 값을 구하는 문제입니다. 삼각함수 기본 관계식과 곱셈 공식의 변형을 단계적으로 적용하는 것이 중요합니다.
- \(\sin \theta \cos \theta\) 계산: \(\sin \theta + \cos \theta\) (또는 \(\sin \theta – \cos \theta\)) 값을 제곱하여 \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\)을 이용하면 \(\sin \theta \cos \theta\) 값을 얻을 수 있습니다.
- 네제곱 합 변형: \(\sin^4 \theta + \cos^4 \theta\)는 \((\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 – 2\sin^2 \theta \cos^2 \theta\) 로 변형할 수 있으며, 이는 \(1 – 2(\sin \theta \cos \theta)^2\) 과 같습니다.
이 두 가지 핵심 단계를 거쳐 값을 계산할 수 있습니다. 곱셈 공식 변형을 정확히 적용하는 연습이 필요합니다.
✅ 최종 정답
⑤ \(\frac{7}{8}\)