📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 반지름의 길이가 3인 큰 원 안에, 크기가 같은 6개의 작은 원이 서로 외접하고 큰 원에 내접할 때, 중앙에 생기는 색칠된 영역의 넓이를 구하는 문제입니다. 작은 원의 반지름을 구하고, 도형의 대칭성과 기본 도형(삼각형, 부채꼴)의 넓이를 이용하여 색칠된 부분의 넓이를 계산하는 전략을 사용합니다.
- 작은 원의 반지름 구하기: 큰 원의 중심과 작은 원의 중심, 작은 원과 큰 원의 접점 등을 연결하여 기하학적 관계를 파악합니다. 이를 통해 작은 원의 반지름 \(r\)을 구합니다.
- 계산 단위 설정: 전체 색칠된 영역을 구하기 위해, 대칭성을 이용하여 계산하기 쉬운 기본 단위 영역을 설정합니다. (예: 큰 원의 중심과 인접한 두 작은 원의 중심을 연결한 삼각형에서 작은 원의 부채꼴을 제외한 영역)
- 단위 영역 넓이 계산: 설정한 기본 단위 영역의 넓이를 삼각형 넓이와 부채꼴 넓이 공식을 이용하여 계산합니다.
- 전체 넓이 계산: 대칭성을 이용하여 단위 영역의 넓이를 12배 하여 전체 색칠된 부분의 넓이 \(S\)를 구합니다.
- \(p, q\) 값 찾기: 계산된 넓이 \(S\)를 \(p\sqrt{3} + q\pi\) 형태와 비교하여 정수 \(p, q\) 값을 찾고, \(p+q\)를 계산합니다.
핵심 공식:
- 삼각형 넓이: \(\frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이}\)
- 부채꼴 넓이: \(\frac{1}{2} r^2 \theta\) (단, \(\theta\)는 라디안 단위)
- 삼각비, 피타고라스 정리
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 작은 원의 반지름 구하기
작은 원의 반지름을 \(r\)이라고 합니다. 큰 원의 중심을 O, 인접한 두 작은 원의 중심을 각각 \(C_1, C_2\)라고 하면, \(\triangle OC_1C_2\)는 한 변의 길이가 \(2r\)인 정삼각형이 됩니다 (왜냐하면 6개의 원이 대칭적으로 배열되어 있으므로 \(\angle C_1OC_2 = 360^\circ / 6 = 60^\circ\)이고, \(OC_1 = OC_2\)이므로 이등변삼각형이며, 밑각도 \(60^\circ\)가 되기 때문입니다).
따라서 큰 원의 중심 O에서 작은 원의 중심 \(C_1\)까지의 거리는 \(OC_1 = 2r\)입니다.
큰 원의 반지름은 O에서 \(C_1\)까지의 거리에 작은 원의 반지름 \(r\)을 더한 것과 같습니다. 큰 원의 반지름이 3이므로,
$$ OC_1 + r = 2r + r = 3r $$
$$ 3r = 3 \implies r = 1 $$
작은 원의 반지름은 1입니다.
Step 2: 단위 영역 설정 및 계산 준비
계산을 위해 \(\triangle OC_1B\) 영역을 고려합니다. 여기서 B는 두 작은 원 \(C_1, C_2\)의 접점(또는 \(C_1C_2\) 선분의 중점)입니다. \(\triangle OC_1B\)는 직각삼각형입니다.
변의 길이는 다음과 같습니다:
- \(OC_1 = 2r = 2(1) = 2\)
- \(C_1B = r = 1\)
- \(OB = \sqrt{OC_1^2 – C_1B^2} = \sqrt{2^2 – 1^2} = \sqrt{3}\) (피타고라스 정리)
각의 크기는 \(\angle C_1OB = \frac{1}{2} \angle C_1OC_2 = \frac{1}{2} (\pi/3) = \pi/6\) 이고, \(\angle OC_1B = \pi/3\) 입니다.
우리가 구할 단위 영역은 \(\triangle OC_1B\)의 넓이에서 점 \(C_1\)을 중심으로 하는 부채꼴(반지름 \(r=1\), 중심각 \(\angle OC_1B = \pi/3\))의 넓이를 뺀 부분입니다.
Step 3: 단위 영역 넓이 계산
\(\triangle OC_1B\)의 넓이:
$$ \text{Area}(\triangle OC_1B) = \frac{1}{2} \times \text{밑변} \times \text{높이} = \frac{1}{2} \times C_1B \times OB = \frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $$
부채꼴 (\(C_1\) 중심, 반지름 \(r=1\), 중심각 \(\pi/3\))의 넓이:
$$ \text{Area}(\text{Sector}) = \frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{1}{2} (1)^2 \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\pi}{6} $$
단위 영역( \(\triangle OC_1B\) 내부의 색칠된 부분과 유사한 모양)의 넓이는:
$$ \text{단위 넓이} = \text{Area}(\triangle OC_1B) – \text{Area}(\text{Sector}) = \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\pi}{6} $$
Step 4: 전체 색칠된 부분 넓이 \(S\) 계산
전체 색칠된 부분은 위에서 계산한 단위 넓이와 같은 모양 12개로 이루어져 있습니다 (정삼각형 6개 각각에 2개씩).
$$ S = 12 \times (\text{단위 넓이}) = 12 \times \left( \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\pi}{6} \right) $$
$$ S = 6\sqrt{3} – 2\pi $$
Step 5: \(p, q\) 값 찾기 및 \(p+q\) 계산
계산된 넓이 \(S = 6\sqrt{3} – 2\pi\)를 문제에서 주어진 형태 \(S = p\sqrt{3} + q\pi\)와 비교합니다.
따라서 정수 \(p\)와 \(q\)는
$$ p = 6, \quad q = -2 $$
문제에서 요구하는 \(p+q\)의 값은:
$$ p + q = 6 + (-2) = 4 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원과 내접/외접하는 원들의 기하학적 성질을 이용하여 특정 영역의 넓이를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원의 접선과 중심 연결: 원의 중심과 접점, 다른 원의 중심 등을 연결하여 만들어지는 삼각형(특히 직각삼각형, 이등변삼각형, 정삼각형)의 성질을 이용하는 것이 중요합니다.
- 도형의 대칭성 활용: 복잡한 도형의 넓이를 구할 때, 대칭성을 이용하여 계산하기 쉬운 작은 단위 영역으로 나누어 계산하고 이를 합산하는 방법을 사용합니다.
- 기본 도형 넓이 공식: 삼각형과 부채꼴의 넓이 공식을 정확히 알고 적용해야 합니다.
- 피타고라스 정리 및 삼각비: 필요한 변의 길이나 각의 크기를 구하기 위해 피타고라스 정리나 삼각비를 활용합니다.
작은 원의 반지름을 구하고, 대칭성을 이용하여 계산 단위를 설정한 뒤, 삼각형과 부채꼴 넓이 공식을 통해 단위 넓이를 계산하고, 최종적으로 전체 넓이를 구하여 \(p, q\) 값을 찾는 단계적인 접근이 필요했습니다.
✅ 최종 정답
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