📘 문제 이해 및 풀이 전략
이 문제는 반지름의 길이가 4인 원 모양의 종이를 원주 위의 한 점이 원의 중심에 겹치도록 접었을 때, 접힌 활꼴의 호의 길이를 구하는 문제입니다. 접힌 모양의 기하학적 성질을 이용하여 활꼴의 중심각을 구하고, 이를 이용하여 호의 길이를 계산하는 전략을 사용합니다.
- 접힌 모양 분석: 원의 중심 O와 접힌 현 AB, 그리고 현에 내린 수선의 발 H의 관계를 파악합니다. 접었을 때 원주 위의 점이 중심 O에 오므로, OH의 길이는 반지름의 절반이 됩니다.
- 중심각 계산: 직각삼각형 OAH에서 삼각비를 이용하여 \(\angle AOH\)를 구하고, 이로부터 활꼴의 중심각 \(\angle AOB\)를 계산합니다.
- 호의 길이 계산: 호의 길이 공식 \(l = r\theta\)를 이용하여 접힌 활꼴의 호의 길이(원래 원에서의 현 AB에 해당하는 호의 길이)를 계산합니다.
- \(p, q\) 값 찾기 및 계산: 계산된 호의 길이를 \(\frac{q}{p}\pi\) 형태와 비교하여 서로소인 자연수 \(p, q\)를 찾고, \(pq\)의 값을 계산합니다.
핵심 공식:
- 삼각비: \(\cos \theta = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}\)
- 호의 길이: \(l = r\theta\) (단, \(\theta\)는 라디안 단위)
✅ 단계별 풀이 과정
Step 1: 접힌 모양 분석 및 길이 계산
원의 반지름 \(R=4\)입니다. 접힌 현을 AB라 하고, 원의 중심 O에서 현 AB에 내린 수선의 발을 H라고 합니다.
종이를 접어서 원주 위의 점이 중심 O에 닿았으므로, 선분 OH의 길이는 반지름의 절반이 됩니다.
$$ OH = \frac{R}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$
직각삼각형 OAH에서 빗변 OA는 원의 반지름이므로 \(OA = 4\)입니다.
Step 2: 중심각 계산
직각삼각형 OAH에서 \(\cos(\angle AOH)\)를 계산합니다.
$$ \cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$
\(\angle AOH\)는 예각이므로,
$$ \angle AOH = \frac{\pi}{3} \text{ (라디안)} $$
현 AB에 대한 중심각 \(\angle AOB\)는 \(\angle AOH\)의 두 배입니다.
$$ \angle AOB = 2 \times \angle AOH = 2 \times \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $$
Step 3: 호의 길이 계산
접힌 활꼴의 호의 길이는 원래 원에서 현 AB에 해당하는 호 \(\widehat{AB}\)의 길이와 같습니다.
호의 길이 \(l = R\theta\) 공식을 이용합니다. 여기서 \(R=4\)이고, 중심각 \(\theta = \angle AOB = \frac{2\pi}{3}\) 입니다.
$$ \text{호 } \widehat{AB} \text{ 의 길이} = R \times \angle AOB = 4 \times \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3} $$
Step 4: \(p, q\) 값 찾기 및 \(pq\) 계산
계산된 호의 길이는 \(\frac{8\pi}{3}\)입니다.
문제에서 호의 길이가 \(\frac{q}{p}\pi\)라고 했으므로, 이를 비교하면
$$ \frac{q}{p} = \frac{8}{3} $$
\(p\)와 \(q\)는 서로소인 자연수이므로, \(p=3\)이고 \(q=8\)입니다.
따라서 문제에서 요구하는 \(pq\)의 값은:
$$ pq = 3 \times 8 = 24 $$
🧠 마무리 개념 정리
이 문제는 원을 접는 과정에서 나타나는 기하학적 특징을 파악하고, 이를 삼각비와 호의 길이 공식을 이용하여 해결하는 문제입니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다.
- 원의 접기 성질: 원주 위의 점이 중심에 겹치도록 접으면, 접힌 선(현)과 중심 사이의 거리는 반지름의 절반이 됩니다.
- 현과 중심각: 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현과 현에 대한 중심각을 이등분합니다.
- 삼각비 활용: 직각삼각형에서 변의 길이를 알 때 각의 크기를 구하기 위해 삼각비를 사용합니다. (\(\cos \theta = 1/2 \implies \theta = \pi/3\))
- 호의 길이 공식: \(l = r\theta\) 공식을 이용하여 중심각과 반지름으로부터 호의 길이를 계산합니다. (단, \(\theta\)는 라디안 단위)
접힌 상황을 기하학적으로 분석하여 필요한 길이(OH)를 구하고, 이를 바탕으로 중심각을 계산하여 최종적으로 호의 길이를 구하는 단계적인 접근이 필요합니다.
✅ 최종 정답
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