문제 풀이
주어진 조건은 다음과 같습니다.
- \( 2^a = 5^b \)
- \( (a – 3)(b – 3) = 9 \)
먼저 \( 2^a = 5^b \)를 \( k \)라고 두면, 양쪽에서 로그 성질을 이용해 다음과 같이 정리할 수 있습니다.
\[ 2 = k^{\frac{1}{a}}, \quad 5 = k^{\frac{1}{b}} \]
양변의 곱을 생각하면:
\[ 2 \cdot 5 = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = 10 \]
또한 \( (a – 3)(b – 3) = 9 \)에서 식을 정리해보면:
\[ ab – 3a – 3b + 9 = 9 \Rightarrow ab – 3a – 3b = 0 \Rightarrow ab = 3(a + b) \]
양변을 \( ab \)로 나누면 다음과 같습니다:
\[ 1 = \frac{3(a + b)}{ab} \Rightarrow \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{3} \]
따라서 \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{3} \)입니다.
\[ \Rightarrow 2 \cdot 5 = k^{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = k^{\frac{1}{3}} = 10 \]
양변에 3제곱하면:
\[ k = 10^3 = 1000 \]
최종적으로 구할 값은
\[ 4^a \cdot 5^b = (2^2)^a \cdot 5^b = 2^{2a} \cdot 5^b = (2^a)^2 \cdot 5^b \]
여기서 \( 2^a = k = 10^3 \)이므로:
\[ (2^a)^2 \cdot 5^b = (10^3)^2 \cdot 10^3 = 10^6 \cdot 10^3 = 10^9 \]