문제
\(\pi < \theta < \dfrac{5}{4}\pi\)이고, 각 \(\theta\)와 각 \(9\theta\)를 나타내는 동경이 원점에 대하여 대칭일 때, 각 \(\theta\)의 크기는?
풀이
1. 동경이 원점에 대하여 대칭이라는 뜻
동경이 원점에 대해 대칭이라는 말은 두 각의 차이가 \(\pi\)만큼 난다는 의미이다.
즉, 다음과 같은 관계가 성립한다.
\[ 9\theta – \theta = 8\theta = (2n+1)\pi \quad \text{(단, \(n\)은 정수)} \]
따라서, \[ \theta = \frac{2n+1}{8} \pi \]
2. 주어진 조건 범위 적용
\[ \pi < \theta < \frac{5}{4}\pi \Rightarrow 1 < \frac{2n+1}{8} < \frac{5}{4} \Rightarrow 8 < 2n+1 < 10 \Rightarrow 7 < 2n < 9 \Rightarrow n = 4 \]
3. 따라서 \(\theta\)의 값은
\[ \theta = \frac{2(4)+1}{8} \pi = \frac{9}{8} \pi \]
정답
\[ \boxed{\frac{9}{8}\pi} \]
개념 정리
- 동경이 원점에 대해 대칭이라면 두 각의 차이가 \(\pi\)만큼 나야 한다.
- \(\theta = \dfrac{2n+1}{8} \pi\) 꼴이며, 주어진 범위에 맞는 \(n\)을 찾는 것이 핵심이다.