📌 문제 요약
이 문제는 함수
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2$$
에 대해, 다음과 같은 극한 조건이 주어졌을 때,
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – 2}{x – 1} = -1$$
이 주어진 함수에서 \( f(3) \)의 값을 구하는 문제입니다.
지금부터 아래 방식대로 아주 자세히 풀이해드릴게요. (1) 왜 그렇게 푸는지 이유 설명 (2) 식을 한 줄씩 해석하듯이 진행 (3) 마지막엔 핵심 개념 정리까지!
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 극한이 존재하기 위한 조건 생각하기
문제에서 다음과 같이 주어졌습니다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – 2}{x – 1} = -1$$
극한이 존재하려면, 분모 \( x – 1 \to 0 \)일 때 분자도 0이 되어야 합니다. 즉, 다음 조건이 성립해야 합니다:
$$\lim_{x \to 1} (f(x) – 2) = 0 \Rightarrow f(1) = 2$$
🔵 Step 2. \( f(1) = 2 \) 조건을 이용해 식 세우기
함수 식에 \( x = 1 \)을 대입해 보겠습니다.
$$f(1) = 1^3 + a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 2 = 1 + a + b + 2 = a + b + 3$$
그런데 이 값이 2가 되어야 하므로
$$a + b + 3 = 2 \Rightarrow a + b = -1 \quad \text{①}$$
🔵 Step 3. 극한 값을 직접 구해보기
문제의 극한을 다시 봅시다.
$$\lim_{x \to 1} \frac{f(x) – 2}{x – 1}$$
우선 \( f(x) – 2 \)는 다음과 같습니다:
$$f(x) – 2 = x^3 + ax^2 + bx + 2 – 2 = x^3 + ax^2 + bx$$
따라서 극한은 다음과 같이 바뀝니다:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + ax^2 + bx}{x – 1}$$
🔵 Step 4. 인수분해를 위한 정리
위 식의 분자는 공통 인수 \( x \)를 묶어낼 수 있습니다:
$$x(x^2 + ax + b)$$
즉, 다음과 같습니다:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x(x^2 + ax + b)}{x – 1}$$
극한값이 -1이 되려면, 이 분자에서 \( x – 1 \)이 약분되어야 하므로 분자가 \( x – 1 \)을 인수로 가져야 합니다. 즉,
$$x^2 + ax + b = (x – 1)(x + r) \quad \text{라고 둘 수 있음}$$
이를 전개하면:
$$x^2 + (r – 1)x – r$$
따라서 계수를 비교하면:
- \( a = r – 1 \)
- \( b = -r \)
이걸 ①번 식 \( a + b = -1 \)에 대입하면:
$$(r – 1) – r = -1 \Rightarrow -1 = -1 \quad \text{항상 참}$$
따라서 이 조건 하에 극한은 다음과 같이 정리됩니다:
$$\lim_{x \to 1} \frac{x(x – 1)(x + r)}{x – 1} = \lim_{x \to 1} x(x + r) = 1(1 + r) = 1 + r$$
이 값이 -1이 되어야 하므로
$$1 + r = -1 \Rightarrow r = -2$$
🔵 Step 5. a, b 값 구하기
앞에서 \( a = r – 1 \), \( b = -r \) 이었으므로
$$a = -2 – 1 = -3, \quad b = 2$$
🔵 Step 6. \( f(3) \) 계산하기
$$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + 2 = x^3 – 3x^2 + 2x + 2$$
이제 \( x = 3 \)을 대입합니다:
$$f(3) = 27 – 27 + 6 + 2 = 8$$
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 극한이 존재하려면 분모와 분자가 동시에 0이 되는 구조여야 함
- 극한을 구하기 위해 인수분해와 대입을 적극 활용
- 함수값을 구할 때는 계수들을 정확히 대입하고 실수 조심!
✅ 최종 정답
정답: ③번, \(\boxed{8}\)