📌 문제 요약
함수 \( f(x) = 2x^3 – 3(a+1)x^2 + 6ax – 4a + 2 \) 에 대해 방정식 \( f(x) = 0 \)의 한 실근을 \( b \)라 하자. 이때 주어진 조건 \( a > 1 \)을 만족하며, 함수 \( f(x) \)가 \( x = 1 \)에서 극댓값을 가지는지, 또 \( a \)와 \( b \)의 대소 관계를 파악하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 도함수 구하기
삼차함수의 극값을 알기 위해 도함수를 구해줍니다.
\[ f(x) = 2x^3 – 3(a+1)x^2 + 6ax – 4a + 2 \]
양변을 미분하면,
\[ f'(x) = 6x^2 – 6(a+1)x + 6a \]
이 식을 정리하면 다음과 같습니다.
\[ f'(x) = 6(x – a)(x – 1) \]
🔵 Step 2. 극값 조건 확인
함수 \( f(x) \)가 \( x = 1 \)에서 극값을 갖기 위해서는 \( f'(x) = 0 \)이 되어야 합니다.
위 식에서 \( x = 1 \)을 대입하면 \( f'(1) = 0 \)이므로 극값을 가짐.
또한 \( a > 1 \)이므로 두 근 중 작은 값이 1 → 따라서 극댓값을 갖습니다.
🔵 Step 3. 함수값 부호 확인
\( f(1) \)을 직접 계산해봅니다.
\[ f(1) = 2(1)^3 – 3(a+1)(1)^2 + 6a(1) – 4a + 2 = 2 – 3(a+1) + 6a – 4a + 2 \]
\[ = 2 – 3a – 3 + 6a – 4a + 2 = -a + 1 \]
따라서 \( f(1) = -a + 1 \). 주어진 조건 \( a > 1 \)이므로 \( f(1) < 0 \)
🔵 Step 4. 실근 \( b \)와의 비교
한 실근 \( b \)는 \( f(b) = 0 \)을 만족하므로, 함수값이 음수였다가 다시 0이 되려면 함수는 증가해야 하며, 그 말은 극댓값 지점 이후에 존재해야 함. 즉, \( b > 1 \).
🔵 Step 5. 정답 선택
(가): 도함수 \( f'(x) = 6(x – a)(x – 1) \) (나): \( x = 1 \)은 극댓값 (다): \( a < b \)
따라서 정답은 ④번입니다.
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 극값 조건: 도함수의 부호 변화를 통해 극값(극댓/극솟) 판단 가능
- 함수 부호 변화: 함수값이 음수였다가 0이 되려면 증가 함수여야 하며, 이는 실근이 극값 이후에 존재함을 의미
- 삼차함수 도함수: 도함수는 이차식으로, 두 극값의 위치를 분석 가능
✅ 최종 정답
정답: ④번