📌 문제 요약
삼차함수 \( f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 2 \) 가 극값을 가지지 않도록 하는 정수 \( a \)의 개수를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 극값 조건 → 도함수를 생각하자
삼차함수가 극값을 가지지 않으려면 도함수 \( f'(x) \)의 실근이 없어야 합니다. 즉, 도함수의 판별식 \( D \leq 0 \)이 조건입니다.
🔵 Step 2. 도함수 구하기
주어진 함수는 다음과 같습니다.
\( f(x) = x^3 + ax^2 + (a + 6)x + 2 \)
따라서 도함수는
\( f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a + 6) \)
🔵 Step 3. 도함수의 실근이 없을 조건
이차방정식이 실근을 가지지 않으려면 판별식 \( D \leq 0 \)이 되어야 합니다.
도함수 \( f'(x) = 3x^2 + 2ax + (a+6) \)의 판별식은
\( D = (2a)^2 – 4 \cdot 3 \cdot (a + 6) = 4a^2 – 12a – 144 \)
이를 4로 나누면
\( \frac{D}{4} = a^2 – 3(a + 6) = a^2 – 3a – 18 \leq 0 \)
🔵 Step 4. 부등식 풀기
\( a^2 – 3a – 18 \leq 0 \) 을 만족하는 정수 \( a \)의 범위를 찾기 위해 인수분해합니다.
\( (a – 6)(a + 3) \leq 0 \)
따라서 \( -3 \leq a \leq 6 \)
이 범위에 포함되는 정수의 개수는
\( 6 – (-3) + 1 = 10 \)개입니다.
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 삼차함수가 극값을 가지지 않기 위한 조건: 도함수의 판별식이 0 이하 (즉, 실근이 없다)
- 판별식: \( ax^2 + bx + c = 0 \)의 실근 존재 여부는 \( D = b^2 – 4ac \)로 판단
- 부등식의 정수 개수 구하는 법: 경계 포함 여부 확인 후 양 끝 정수 사이 거리 + 1
✅ 최종 정답
정답: ③번, \( \boxed{10} \)