📌 문제 요약
다항함수 \( f(x) \)가 다음 조건을 만족합니다:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) + f(x) + 12}{x – 1} = 12 \]
이 조건을 만족할 때, 곡선 \( y = f(x) \) 위의 점 \( (1, f(1)) \)에서의 접선의 y절편을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 극한값의 존재 조건 분석
극한값이 존재하기 위해서는 분자가 0이 되어야 합니다. 즉,
\[ f(1) + f(1) + 12 = 0 \Rightarrow 2f(1) + 12 = 0 \Rightarrow f(1) = -6 \]
🔵 Step 2. 주어진 식을 정리하여 도함수 관계로 표현
다음과 같이 식을 변형합니다:
\[ \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) + f(x) + 12}{x – 1} = \lim_{x \to 1} \frac{f(x^2) + f(x) – 2f(1)}{x – 1} \]
이를 두 부분으로 나누어 다음과 같이 정리할 수 있습니다:
\[ = \lim_{x \to 1} \left\{ \frac{f(x^2) – f(1)}{x – 1} + \frac{f(x) – f(1)}{x – 1} \right\} \]
첫 번째 항은 다음과 같이 변형할 수 있습니다:
\[ \frac{f(x^2) – f(1)}{x – 1} = \frac{f(x^2) – f(1)}{x^2 – 1} \cdot (x + 1) \Rightarrow f'(1) \cdot (x + 1) \]
두 번째 항은 기본적인 도함수 정의로서 \( f'(1) \) 입니다.
🔵 Step 3. 정리 및 f'(1) 값 구하기
이제 전체 식은 다음과 같습니다.
\[ \lim_{x \to 1} \left\{ f'(1) \cdot (x + 1) + f'(1) \right\} = 12 \]
\( x \to 1 \)일 때, \( x + 1 \to 2 \)이므로:
\[ f'(1) \cdot 2 + f'(1) = 3f'(1) = 12 \Rightarrow f'(1) = 4 \]
🔵 Step 4. 접선의 y절편 구하기
접선의 방정식은 다음과 같습니다.
\[ y – f(1) = f'(1)(x – 1) \Rightarrow y + 6 = 4(x – 1) \Rightarrow y = 4x – 10 \]
따라서 접선의 y절편은 \( -10 \)입니다.
🧠 마무리 정리: 꼭 기억해야 할 개념
- 극한이 존재하려면, 분자도 0이어야 하므로 함수값을 먼저 대입해보는 것이 중요합니다.
- 합성함수의 극한에서 미분형태로 바꾸기 위해 적절한 항을 빼고 더하는 식의 변형을 연습해 둬야 합니다.
- 접선의 y절편은 접선의 직선식을 \( y = mx + b \) 형태로 정리하여, \( x = 0 \)일 때 값을 구하면 됩니다.
✅ 최종 정답
정답: ②번, \(\boxed{-10}\)