📌 문제 요약
함수 \( f(x) = x^3 + 3x^2 + a \) 의 최솟값이 -1이고, 구간은 닫힌 구간 \([-2, 1]\)로 주어졌습니다. 이때 이 함수의 최댓값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 극댓값과 극솟값의 후보 찾기
닫힌 구간에서 함수의 최대·최솟값을 구하려면 다음을 확인합니다.
- 도함수가 0이 되는 지점 (극값의 후보)
- 구간의 양 끝점
🔵 Step 2. 도함수 구하기
함수는 \( f(x) = x^3 + 3x^2 + a \) 이고, 도함수는 다음과 같습니다.
\( f'(x) = 3x^2 + 6x = 3x(x + 2) \)
이 식이 0이 되는 지점을 찾으면:
\( f'(x) = 0 \Rightarrow x = 0 \) 또는 \( x = -2 \)
따라서 확인해야 할 지점은 \( x = -2, 0, 1 \) 입니다.
🔵 Step 3. 조건을 이용해 상수 \( a \) 값 구하기
문제에서 “최솟값이 -1″이라고 했습니다. 극솟값이 나오는 지점은 \( x = 0 \)이므로:
\( f(0) = -1 \Rightarrow a = -1 \)
🔵 Step 4. 함수 확정하기
따라서 함수는 다음과 같습니다:
\( f(x) = x^3 + 3x^2 – 1 \)
🔵 Step 5. 각 지점의 함수값 구하기
- \( f(-2) = (-2)^3 + 3(-2)^2 – 1 = -8 + 12 – 1 = 3 \)
- \( f(0) = 0 + 0 – 1 = -1 \)
- \( f(1) = 1 + 3 – 1 = 3 \)
🔵 Step 6. 최댓값 결정
최댓값은 \( x = -2 \) 또는 \( x = 1 \)에서 나오는 3입니다.
🧠 마무리 개념 정리
- 닫힌 구간에서 최대 최소: 도함수가 0이 되는 점과 구간 끝점을 모두 계산
- 극솟값과 극댓값 판별: 도함수 부호 변화 확인
- 상수 a 구하기: 함수값에 조건을 넣고 상수 계산
✅ 최종 정답
정답: \(\boxed{2번\ (3)}\)