📌 문제 요약
이 문제는 함수
$$f(x) = x^3 – 3x^2 – 4$$
의 최소값을 \( m \), 최대값을 \( M \)이라 할 때, \( m + M \)의 값을 구하는 문제입니다. 단, 구간은 닫힌 구간 \( [0, 4] \)입니다.
이제부터 아래 방식대로 아주 자세하게 풀이해드릴게요. (1) 왜 그렇게 푸는지 이유 설명 (2) 식을 한 줄씩 해석하듯이 진행 (3) 마지막엔 핵심 개념 정리까지!
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 함수가 정의된 구간이 닫힌 구간인지 확인
주어진 함수는 다항함수 \( f(x) = x^3 – 3x^2 – 4 \)이며, 모든 실수에서 연속이고 미분 가능합니다.
또한 문제에서 주어진 구간은 닫힌 구간 \( [0, 4] \)입니다. 따라서 우리는 극값이 될 수 있는 후보로 끝점과 극값이 나오는 지점들을 모두 비교하면 됩니다.
🔵 Step 2. 극값 후보가 되는 x값 찾기 (도함수의 값이 0이 되는 지점)
함수의 극값이 나오는 곳은 도함수 \( f'(x) \)가 0이 되는 지점입니다. 먼저 도함수를 구해볼게요.
$$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 – 4) = 3x^2 – 6x$$
도함수 \( f'(x) = 3x^2 – 6x \)를 0으로 놓고, 극값 후보를 찾습니다:
$$3x^2 – 6x = 0$$ $$\Rightarrow 3x(x – 2) = 0$$ $$\Rightarrow x = 0, 2$$
즉, 극값이 나올 수 있는 후보는 ① x = 0 (도함수가 0이 되는 지점) ② x = 2 (도함수가 0이 되는 지점) ③ x = 0 (구간의 왼쪽 끝점) ④ x = 4 (구간의 오른쪽 끝점) 입니다.
🔵 Step 3. 각 x값에서의 함수값을 직접 계산
- f(0) = \(0^3 – 3 \cdot 0^2 – 4 = -4\)
- f(2) = \(2^3 – 3 \cdot 2^2 – 4 = 8 – 12 – 4 = -8\)
- f(4) = \(4^3 – 3 \cdot 4^2 – 4 = 64 – 48 – 4 = 12\)
정리하면 다음과 같습니다:
- f(0) = -4
- f(2) = -8 (최소값)
- f(4) = 12 (최대값)
🔵 Step 4. 최소값 m, 최대값 M 정리 및 m + M 계산
최소값 \( m = -8 \), 최대값 \( M = 12 \)이므로,
$$m + M = -8 + 12 = 4$$
🧠 마무리 개념 정리
- 닫힌 구간에서의 최대/최소값 찾기: 항상 도함수가 0이 되는 지점 + 구간의 끝점을 모두 비교해야 합니다.
- 극값이란? 함수의 기울기인 도함수가 0이 되는 지점에서 나오는 값입니다.
- 도함수 활용: 도함수 \( f'(x) \)를 구하고, 이를 0으로 놓아 해를 구한 후, 원래 함수에 대입해 극값을 찾습니다.
- 다항함수는 연속이며 미분 가능한 함수이므로, 이런 극값 찾기에 매우 적합합니다.
✅ 최종 정답
정답: ⑤번, \( \boxed{4} \)