📌 문제 요약
이 문제는 다음과 같은 조건이 주어진 상황입니다.
- 곡선 \( y = f(x) \) 위의 점 \( (t, f(t)) \)에서 접선의 기울기가 \( 6t^2 + 2t \)
- 즉, \( f'(t) = 6t^2 + 2t \)
- 조건: \( f(2) = 16 \)
- 목표: \( f(-2) \)의 값을 구하라
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 도함수 \( f'(t) \)를 이용
문제에서 접선의 기울기가 주어졌다는 것은 곧 도함수 \( f'(t) \)를 의미합니다.
따라서: \( f'(t) = 6t^2 + 2t \)
🔵 Step 2. 도함수를 적분하여 \( f(t) \) 구하기
도함수를 적분해서 원래 함수를 구합니다.
\[ f(t) = \int f'(t) dt = \int (6t^2 + 2t) dt = 2t^3 + t^2 + C \]
🔵 Step 3. 조건 \( f(2) = 16 \)을 이용해 \( C \) 구하기
\[ f(2) = 2(2)^3 + (2)^2 + C = 16 + 4 + C = 20 + C \] \[ 20 + C = 16 \Rightarrow C = -4 \]
따라서 최종 함수는 \[ f(t) = 2t^3 + t^2 – 4 \]
🔵 Step 4. \( f(-2) \) 계산하기
\[ f(-2) = 2(-2)^3 + (-2)^2 – 4 = -16 + 4 – 4 = -16 \]
✅ 최종 정답
정답: ⑤번, \( \boxed{-16} \)
🧠 마무리 개념 정리
- 도함수 → 함수: 도함수를 적분하면 원래 함수가 나옵니다. 이때 상수 \( C \)를 꼭 포함해야 하며, 조건을 통해 값을 정합니다.
- 함수값 활용: 주어진 조건을 통해 적분상수 등을 정확히 정할 수 있습니다.
- 계산 실수 주의: \( (-2)^2 = 4 \), \( (-2)^3 = -8 \) 등 부호 계산은 꼼꼼히 해야 합니다.