📌 문제 요약
실수 전체의 집합에서 정의되고 미분 가능한 함수 \( f(x) \)가 다음 조건을 만족합니다.
- (가) \( f'(1) = 2 \)
- (나) \( f(x + y) = f(x) + f(y) + xy(x + y) – 3 \)
이때 \( f(3) \)의 값을 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이
🔵 Step 1. 조건 (나)에서 \( f(0) \)의 값 구하기
조건 (나)에 \( x = 0 \), \( y = 0 \)을 대입하면:
\[ f(0) = f(0) + f(0) + 0 \cdot 0 \cdot 0 – 3 \Rightarrow f(0) = 2f(0) – 3 \]
따라서 \( f(0) = 3 \)입니다.
🔵 Step 2. 조건 (나)를 활용하여 도함수 \( f'(x) \) 구하기
도함수의 정의에 따라:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
조건 (나)에 따라 \( f(x + h) = f(x) + f(h) + xh(x + h) – 3 \)이므로:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) + xh(x+h) – 3}{h} \]
위에서 \( f(0) = 3 \)이므로:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) – 3}{h} + \lim_{h \to 0} x(x + h) = f'(0) + x^2 \]
🔵 Step 3. 조건 (가)로부터 \( f'(0) \)의 값 구하기
조건 (가)에 따르면 \( f'(1) = 2 \)이므로:
\[ f'(1) = f'(0) + 1^2 = f'(0) + 1 = 2 \Rightarrow f'(0) = 1 \]
🔵 Step 4. \( f'(x) \)를 적분하여 \( f(x) \) 구하기
\[ f'(x) = x^2 + 1 \Rightarrow f(x) = \int (x^2 + 1)\,dx = \frac{1}{3}x^3 + x + C \]
\( f(0) = 3 \)이므로 \( C = 3 \)입니다.
따라서 \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x + 3 \)
🔵 Step 5. \( f(3) \) 계산
\[ f(3) = \frac{1}{3}(27) + 3 + 3 = 9 + 3 + 3 = \boxed{15} \]
🧠 마무리 개념 정리
- 합성 조건을 가진 함수에서는 \( x = 0 \)이나 \( y = 0 \)을 대입하여 기본값을 찾는 것이 핵심입니다.
- 미분 가능성이 주어진 경우 도함수의 정의로부터 함수식을 유도할 수 있습니다.
- 함수의 형태가 다항식일 경우, 도함수의 적분으로 원래 함수를 구하고 적분상수는 초기조건으로 결정합니다.
✅ 최종 정답
정답: ③번, \( \boxed{15} \)