📌 문제 요약
다항함수 \( f(x) \) 가 다음 조건을 만족할 때, \( f(0) \)의 값을 구하는 문제입니다.
\[ \frac{d}{dx} \left\{ \int (f(x) – x^2 + 4)\,dx \right\} = \int \left( \frac{d}{dx}(2f(x) – 3x + 1) \right)\,dx \]
\( f(1) = 3 \)일 때, \( f(0) \)의 값을 구하세요.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 좌변 계산하기
좌변은 다음과 같은 형태입니다.
\[ \frac{d}{dx} \left\{ \int (f(x) – x^2 + 4)\,dx \right\} \]
이 식은 ‘미분과 적분의 관계’를 이용해서 다음과 같이 단순화됩니다.
\[ f(x) – x^2 + 4 \]
🔵 Step 2. 우변 계산하기
우변은 다음과 같은 형태입니다.
\[ \int \left( \frac{d}{dx}(2f(x) – 3x + 1) \right)\,dx \]
안쪽 미분을 먼저 계산해보면,
\[ \frac{d}{dx}(2f(x) – 3x + 1) = 2f'(x) – 3 \]
따라서 전체 우변은 다음과 같이 표현됩니다.
\[ \int (2f'(x) – 3)\,dx = 2f(x) – 3x + C \]
여기서 \( C \)는 적분상수입니다.
🔵 Step 3. 양변을 비교하여 방정식 세우기
앞서 계산한 좌변과 우변을 비교합니다.
좌변: \( f(x) – x^2 + 4 \)
우변: \( 2f(x) – 3x + C \)
양변을 같다고 놓고 식을 정리합니다.
\[ f(x) – x^2 + 4 = 2f(x) – 3x + C \]
모든 항을 좌변으로 이항하면,
\[ – x^2 + 4 – 3x + C = f(x) \]
즉, \( f(x) = -x^2 + 3x + (4 – C) \) 가 됩니다.
🔵 Step 4. 조건 \( f(1) = 3 \) 대입하여 \( C \) 구하기
위 식에 \( x = 1 \)을 대입하면,
\[ f(1) = -1^2 + 3(1) + (4 – C) = -1 + 3 + 4 – C = 6 – C \]
문제에서 \( f(1) = 3 \) 이므로,
\[ 6 – C = 3 \Rightarrow C = 3 \]
🔵 Step 5. \( f(x) \)를 완성하고 \( f(0) \) 구하기
\( C = 3 \)을 위 식에 대입하면,
\[ f(x) = -x^2 + 3x + (4 – 3) = -x^2 + 3x + 1 \]
따라서, \[ f(0) = -(0)^2 + 3(0) + 1 = 1 \]
✅ 최종 정답
정답: ④번, \(\boxed{1}\)
🧠 마무리 개념 정리
- 미분과 적분의 관계: \( \frac{d}{dx} \left( \int f(x)\,dx \right) = f(x) \). 단, 함수가 연속일 때 적용됩니다.
- 정적분과 부정적분의 차이: 부정적분에는 항상 상수 \( C \)가 포함되며, 이 상수는 주어진 조건으로 결정합니다.
- 함수 식 찾기: 양변을 비교하고 조건을 이용해 미지수를 구하는 방식은 함수 식을 구성하는 전형적인 방법입니다.