📌 문제 요약
다음 조건을 만족하는 함수 \( f(x) \)에 대해 정적분 값을 구하는 문제입니다.
\( f(x) – f(1) = x^3 + 4x^2 – 5x \) 를 만족할 때, \( \int_1^2 f'(x)\, dx \) 의 값을 구하시오.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 함수의 정의 정리
주어진 조건에 따라, 함수 \( f(x) \)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\( f(x) = x^3 + 4x^2 – 5x + f(1) \)
🔵 Step 2. 정적분과 도함수의 관계
다음과 같은 공식이 있습니다:
\( \int_a^b f'(x)\, dx = f(b) – f(a) \)
이 문제에서는 \( a = 1 \), \( b = 2 \) 이므로:
\( \int_1^2 f'(x)\, dx = f(2) – f(1) \)
🔵 Step 3. \( f(2) – f(1) \) 계산하기
조건에 따라 \( f(x) – f(1) = x^3 + 4x^2 – 5x \) 이므로,
\( f(2) – f(1) = 2^3 + 4 \cdot 2^2 – 5 \cdot 2 = 8 + 16 – 10 = 14 \)
🔵 Step 4. 결론 도출
\( \int_1^2 f'(x)\, dx = f(2) – f(1) = \boxed{14} \)
✅ 최종 정답
정답: ③번, \( \boxed{14} \)
🧠 마무리 개념 정리
- 정적분과 변화량: \( \int_a^b f'(x)\, dx \)는 함수 \( f(x) \)의 변화량, 즉 \( f(b) – f(a) \)와 같다.
- 함수의 정의를 통한 표현: \( f(x) – f(1) \)의 형태를 이용해 전체 함수를 추론할 수 있다.
- 계산 실수 방지: 정적분 계산에서 함수가 주어지지 않아도, 주어진 변화량을 직접 계산하는 방식도 충분히 가능하다.