📘 문제 해설: 정적분과 미지수 구하기
📌 문제 요약
주어진 정적분의 값을 이용하여 상수 \( a \)의 값을 먼저 구한 후, 그 값을 활용하여 다른 정적분의 값을 구하는 문제입니다.
\[ \int_0^2 (ax + 3) \, dx = 2 \] 일 때, \[ \int_0^2 (3x^2 + a) \, dx \] 의 값을 구하는 것이 목표입니다.
🔍 Step 1. 첫 번째 정적분 계산하기
먼저, 주어진 식 \[ \int_0^2 (ax + 3) \, dx \] 을 계산합니다.
정적분은 구간 내에서 함수의 넓이를 구하는 것이므로, 각 항목을 따로 적분합니다.
\[ \int_0^2 (ax + 3) \, dx = \int_0^2 ax \, dx + \int_0^2 3 \, dx \]
\[ = \left[ \frac{1}{2} a x^2 \right]_0^2 + \left[ 3x \right]_0^2 = \frac{1}{2} a (4) + 3(2) = 2a + 6 \]
문제에서 이 값이 2라고 했으므로,
\[ 2a + 6 = 2 \quad \Rightarrow \quad 2a = -4 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \]
🧮 Step 2. 두 번째 정적분 계산하기
이제 구한 \( a = -2 \)를 이용하여 두 번째 정적분을 계산합니다.
\[ \int_0^2 (3x^2 + a) \, dx = \int_0^2 (3x^2 – 2) \, dx \]
이제 항목별로 나눠서 계산하면,
\[ = \int_0^2 3x^2 \, dx – \int_0^2 2 \, dx \]
\[ = \left[ x^3 \right]_0^2 – \left[ 2x \right]_0^2 = 8 – 4 = 4 \]
🧠 마무리 개념 정리
- 정적분은 항목별로 나눠서 계산할 수 있다: \(\int (f(x) + g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\)
- 정적분을 이용한 미지수 계산: 정적분의 결과 값을 주고, 이를 이용하여 미지수를 구하는 방식은 매우 자주 출제됨.
- 기본적인 적분 공식을 정확히 외우자: \(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\), \(\int a dx = ax + C\)
✅ 최종 정답
정답: ④번, \( \boxed{4} \)