수2 – 모의고사 (1) – 1059872 – 21번

문제 요약

다항함수 $f(x)$에 대해 다음 조건이 주어졌습니다:

$${\int }_0^{x}f(t)dt=x^4+3x{\int }_0^{1}f(t)dt$$

이때 $f(1)$의 값을 구하는 문제입니다.

단계별 풀이

Step 1. 전체 적분값을 문자 $k$로 두기

문제에 있는 ${\int }_0^{1}f(t)dt$를 하나의 상수 $k$라고 놓습니다.

$${\int }_0^{1}f(t)dt=k$$

그럼 원래 주어진 식은 이렇게 바꿀 수 있습니다:

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\int }_0^{x}f(t)dt=x^4+3kx\end{array}$$

Step 2. 양변에 $x=1$을 대입해서 $k$ 값 구하기

식 (1)에 $x=1$을 대입하면 다음과 같이 됩니다.

$${\int }_0^{1}f(t)dt=1^4+3k=1+3k$$

그런데 왼쪽도 ${\int }_0^{1}f(t)dt=k$이므로,

$$k=1+3k\Rightarrow -2k=1\Rightarrow k=-\frac{1}{2}$$

Step 3. 다시 식 (1)에 $k=-\frac{1}{2}$를 대입

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\int }_0^{x}f(t)dt=x^4+3x\cdot (-\frac{1}{2})=x^4–\frac{3}{2}x\end{array}$$

Step 4. 양변을 $x$에 대해 미분하여 $f(x)$ 구하기

양변을 $x$에 대해 미분하면, 좌변은 정의에 따라 $f(x)$가 되고,

우변은 미분해서 다음과 같이 됩니다:

$$f(x)=\frac{d}{dx}\left(x^4–\frac{3}{2}x\right)=4x^3–\frac{3}{2}$$

Step 5. $f(1)$ 값 구하기

$$f(1)=4(1{)}^3–\frac{3}{2}=4–\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$

마무리 개념 정리

• 적분식이 주어졌을 때, 모르는 적분 구간 값을 문자로 두고 대입하여 해결 가능
• 함수의 정적분과 미분의 관계를 통해 $f(x)$를 도출할 수 있음:
  • $\frac{d}{dx}({\int }_0^{x}f(t)dt)=f(x)$
• 정적분 안의 값을 문자로 두고 대입하여 식의 일치를 통해 상수값 $k$를 찾아내는 것이 핵심!

최종 정답

정답: ⑤번, $\boxed{{\displaystyle \frac{5}{2}}}$