📌 문제 요약
다음 곡선과 직선들로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는 문제입니다.
- 곡선: \( y = x^2 + 4 \)
- 직선: \( x = 1 \), \( x = 4 \), \( x \)-축
즉, \( x = 1 \)에서 \( x = 4 \)까지, 곡선 \( y = x^2 + 4 \)와 \( x \)-축 사이에 생기는 도형의 넓이를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 면적의 정의 활용
함수 \( y = f(x) = x^2 + 4 \)가 \( x = 1 \)부터 \( x = 4 \)까지 양수이므로, 이 구간에서의 면적은 아래와 같이 정적분으로 계산할 수 있습니다.
\[ \text{넓이} = \int_{1}^{4} (x^2 + 4)\,dx \]
🔵 Step 2. 정적분 계산하기
각 항을 나눠서 적분해보겠습니다.
\[ \int_{1}^{4} (x^2 + 4)\,dx = \int_{1}^{4} x^2\,dx + \int_{1}^{4} 4\,dx \]
먼저, \( \int x^2\,dx \)는 다음과 같습니다.
\[ \int_{1}^{4} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^4 = \frac{4^3}{3} – \frac{1^3}{3} = \frac{64 – 1}{3} = \frac{63}{3} = 21 \]
다음으로, \( \int 4\,dx \)는 상수 함수의 정적분이므로,
\[ \int_{1}^{4} 4\,dx = 4 \times (4 – 1) = 4 \times 3 = 12 \]
🔵 Step 3. 전체 넓이 구하기
이제 두 정적분 결과를 더하면 전체 넓이가 나옵니다.
\[ \text{넓이} = 21 + 12 = 33 \]
🎯 최종 정답
정답: ⑤번, \( \boxed{33} \)
🧠 마무리 개념 정리
- 정적분은 구간 내에서의 “면적”을 구할 수 있는 도구입니다.
- 함수가 양수이면, 정적분 값이 면적과 같고, 음수이면 음의 면적으로 나옵니다.
- 면적 구할 때는 반드시 곡선과 x축 사이에서 어디가 위쪽인지 확인해야 합니다.
- 다항함수의 적분은 항별로 적분해도 됩니다: \( \int (x^2 + 4) dx = \int x^2 dx + \int 4 dx \)