📘 문제 요약
점 P의 속도 함수 \( v(t) = -t + 1 \)이 주어졌을 때,
\( t = 0 \)에서 원점을 출발한 점 P가 \( t = 4 \)일 때 원점에서 얼마나 떨어져 있는지를 구하는 문제입니다.
✅ 단계별 풀이 과정
🔵 Step 1. 속도 함수의 의미 이해
주어진 속도 함수는 다음과 같습니다.
$$ v(t) = -t + 1 $$
속도는 시간에 따라 변하며, 이 함수는 \( t = 1 \)에서 0이 됩니다. 즉, 그 전에는 앞으로, 그 이후에는 뒤로 이동합니다.
🔵 Step 2. 속도의 부호에 따라 구간 나누기
– \( 0 \leq t \leq 1 \): 속도 \( v(t) > 0 \), → 앞으로 이동
– \( 1 < t \leq 4 \): 속도 \( v(t) < 0 \), → 뒤로 이동
따라서 이동 거리를 구할 때는 절댓값을 사용하여 계산해야 합니다.
🔵 Step 3. 이동 거리 계산
거리 = \( \left| \int_0^1 (-t + 1) \, dt \right| + \left| \int_1^4 (-t + 1) \, dt \right| \)
첫 번째 구간: $$ \int_0^1 (-t + 1) \, dt = \left[ -\frac{1}{2}t^2 + t \right]_0^1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $$
두 번째 구간: $$ \int_1^4 (-t + 1) \, dt = \left[ -\frac{1}{2}t^2 + t \right]_1^4 $$ $$ = (-8 + 4) – (-\frac{1}{2} + 1) = -4 – \frac{1}{2} = -\frac{9}{2} $$ 거리이므로 절댓값을 취해 \( \frac{9}{2} \)
🔵 Step 4. 전체 거리 계산
$$ \text{총 거리} = \frac{1}{2} + \frac{9}{2} = \frac{10}{2} = 5 $$
🧠 마무리 개념 정리
- 속도 함수의 적분은 위치 변화량을 의미합니다.
- 이동 거리를 구할 때는, 속도의 부호가 바뀌는 지점에서 절댓값을 나누어 계산합니다.
- 거리 vs 위치 변화량: 위치 변화량은 그냥 적분값, 거리 = 적분값의 절댓값들을 더한 것.
✅ 최종 정답
정답: ⑤번, \(\boxed{5}\)